Re: [obm-l] desigualdades

["Cesar Kawakami" <cesarkawakami@xxxxxxxxx>]

On 6/2/06, benedito <benedito@digizap.com.br> wrote:

Problema

Sem usar calculadora ou computador, qual é o maior  e^pi  ou pi^e?

 

Benedito Freire

Esse é um clássico: Use a desigualdade de Bernoulli.

Temos

e^x >= x + 1 (desigualdade de Bernoulli, observável usando os gráficos da função e^x e x + 1)

tomando x = (pi / e) - 1, temos

e^( pi/e - 1 ) >= pi/e - 1 + 1 = pi/e

e^( pi / e) / e >= pi / e

e^(pi/e) >= pi

e^pi >= pi^e.

De fato, usando uma boa calculadora, temos:

e^pi ~= 23.140692632779269005729086367948547380266106242600

pi^e ~= 22.459157718361045473427152204543735027589315133997

que confirmam o fato.



[]'s

Cesar Ryudi Kawakami