Re: [obm-l] Cos 7�

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, May 30, 2006 at 01:49:53PM +0000, Demetrio Freitas wrote:
> 
> Talvez valha a pena comentar que o argumento da
> mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para
> mostrar que qualquer �ngulo, expresso em graus por um
> n�mero racional (ou expresso em radianos por um
> racional multiplicado por Pi) tem n�meros alg�bricos
> como seno e cosseno.
> 
> Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um
> n�mero alg�brico s�o transcedentais � poss�vel com o
> teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu n�o sei
> demonstrar).
> 
> Por �ltimo, resta responder se senos e cossenos de
> �ngulos transcedentais, mas que n�o s�o m�ltiplos
> racionais de Pi, s�o transcedentais. Este �ltimo acho
> que est� em aberto. Al�m poderia confirmar?

Isto � falso (se eu entendi corretamente a pergunta).

Sabemos que se t � um m�ltiplo racional de pi ent�o
2 cos t � um inteiro alg�brico. Sabemos tamb�m que se
t � alg�brico e diferente de 0 ent�o cos t � transcendente.
Seja t = arc cos(1/4): pelos resultados acima, t � transcendente
mas n�o � m�ltiplo racional de pi. Por outro laso, cos t � recional.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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