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RES: [obm-l] sobrejetividade e abertos



Qual topologia estah definida em L? para falarmos em conjuntos abertos de L,
temos necessariamente que estabelecer uma topologia, que possivelmente se
origina de uma norma definida em L.

Se F eh o conjunto das funcoes definidas em um conjunto X e com valores em
R, uma forma usual de se normar F e definir a norma ||.|| de cada um de seus
elemntos f por ||f|| = supremo{|f(x|  | x estah em X}. Se f tiver valores em
R^m, a mesma definicao se aplica, bastando considerar |f(x)| como a norma
euclidiana do vetor f(x). Mas para que estah definicao atenda aas
propriedades de uma norma (um mumero real >=0), eh necessario que F seja
composto por funcoes limitadas, a menos que se admita que a norma possa ser
infinita.  

No caso bem simples em que m= n =1 e as funcoes sao continuas, L eh a
familia da funcoes f:R->R dadas por f(x) = k*x, k em R. Todas sao bijetoras.
Mas se normarmos L conforme acima definido, todas a funcoes terao norma
infinita e a distancia ||f1 - f2|| entre 2 funcoes distintas de L eh sempre
infinita. Se, entretanto, restringirmos as f de L a um compacto de R, um
intervalo fechado e limitado, por exemplo, entao a definicao fica bem clara
e L torna-se um espaco metrico.    

Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Felipe Nobili
Enviada em: terça-feira, 23 de maio de 2006 17:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] sobrejetividade e abertos




Seja L(R^n,R^m) o conjunto das transformações lineares
de R^n -> R^m. como provar que as transformações
lineares sobrejetivas formam um conjunto aberto em
L(R^n,R^m)? 
Como provar que as transformações lineares injetivas
também forma conjunto aberto?

obrigado.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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