[obm-l] RES: [obm-l] triângulo de área máxima!

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

> Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
> constante, ele terá área máxima quando for equilátero?

Vc pode considerar que a area S eh dada por S = raiz(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),
sendo a, b e c os lados do triangulo e p o semiperimetro. Maximizar S
equivale a maximizar S^2 = p*(p-a)*(p-b)*(p-c), que equivale a mazimizar
(p-a)*(p-b)*(p-c) , dado que a + p + c = 2p e a, b, c >=0. A simetria do
problema acarreta que a = b = c = 3p/2, de modo que a, b, c >0, sendo assim
lados de um triangulo equilatero. Eh facil ver que este eh o ponto de
maximo, pois o de area minima eh um segmento de reta de comprimento p, um
triangulo degenerado, cuja area eh nula.

Outro problrma interessante eh determinar o triangulo de menor perimetro
dentre todos de mesma area.

Artur


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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