[obm-l] Re: [obm-l] Interseções entre a esfera e um plano

["Marcelo Salhab Brogliato" <k4ss@xxxxxxxxxx>]

Olá,

vou apenas parametrizar a curva, dai a letra B basta calcular as integrais 
de linha.

x^2 + y^2 + z^2 = 2(x+y) - 1
(x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 1

entao, queremos uma parametrizacao da interseccao das curvas:
(x-1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 1    [i]
y+z = 2    [ii]


substituindo z = 2-y em [i], temos:

(x-1)^2 + y^2 - 2y + 1 + 4 - 4y + y^2 = 1
(x-1)^2 + 2y^2 - 6y + 4 = 0
(x-1)^2 + [sqrt(2)y - 3/sqrt(2)]^2 + 4 - 9/2 = 0
(x-1)^2 + [sqrt(2)y - 3/sqrt(2)]^2 = 1/2

bom, este nos sabemos parametrizar:
x-1 = sen(a)/sqrt(2)

sqrt(2)y - 3/sqrt(2) = cos(a)/sqrt(2)
2y - 3 = cos(a)
y = [cos(a) + 3]/2

mas sabemos que y+z = 2...
logo:
z = 2-y = 2 - [cos(a) + 3]/2

z = [1 - cos(a)]/2

assim: r(t) = ( sen(t)/sqrt(2) ; cos(t)/2 + 3/2 ; 1/2 - cos(t)/2 )

existe um outro jeito mais geometrico de fazer, que seria desenhar a esfera, 
desenhar o plano.
sabemos que a interseccao da esfera com o plano é uma circunferencia, entao 
encontramos a base ortonormal na qual esta circunferencia tem sua forma 
comum [(x-x0)^2 + (y-y0)^2 = r^2], parametrizamos a circunferencia de raio 
conhecido nesta base, e aplicamos uma transformacao linear pra levar nossa 
circunferencia desta base para a base do problema. [muitas vezes, este modo 
acaba sendo bem mais simples do que o que eu utilizei]

abraços,
Salhab

----- Original Message ----- 
From: <geo3d@ibest.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, May 13, 2006 11:39 AM
Subject: [obm-l] Interseções entre a esfera e um plano


Olá pessoal bom dia. Estou trabalhando em uma questão que diz o seguinte: 
Seja C um fio delgado com a forma da interseção entre a esfera 
x^2+y^2+z^2=2(x+y)-1 e o plano de equação  y+z=2, a questão pede:

a) Dê uma parametrização para C

b) Calcule a massa de C se a densidade é dada por f(x,y,z)=x^2

Dentre osutras dúvidas pergunto: Independente da posição do plano em relação 
a esfera sempre a interseção entre eles será um círculo ? E se eu projetar a 
interseção no plano xy por exemplo, será um círculo também ?

Se alguém puder dar uma "luzinha" para mim nas questões A e B e na minha 
pergunta agradeço, muito.

Um grande abraço, Marcelo.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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