RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Bacana... Eu cheguei a pensar em coisas como densidade da imagem de d(XxX)
sobre determinados compactos, mas não deu em nada principalmente depois
do contra-exemplo X = {circunferências de raio natural}U{eixo x} contido
em R^2, com a métrica usual.

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Thu, 4 May 2006 18:12:16 -0700 (PDT)
 '>'From: Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com>
 '>'Subject: RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>'Consideracoes legais, Daniel!
 '>'Alem do que vc citou - e que acaba sendo na mesma
 '>'linha - uma condicao necessaria e suficiente para que
 '>'o fecho de bolas abertas centradas em um ponto a sejam
 '>'as respectivas bolas fechadas eh que o ponto a seja o
 '>'unico minimo relativo da funcao definida em X por x ->
 '>'d(x,a).
 '>'
 '>'Para vermos isso, comecemos observando que, sendo f(x)
 '>'= d(x,a) entao a eh minomo global, logo relativo, de
 '>'f. Alem disto, eh facil ver (e a sua argumntacao
 '>'tambem mostra), que B' esta sempre contido em B*,
 '>'sendo B' o fecho da bola aberta B.
 '>'
 '>'Suponhamos que os fechos das bolas abertas centradas
 '>'em a sejam as respectivas bolas fechadas. Para x <> a,
 '>'seja d(x,a) = f(x) = r >0. Entao, x estah em B*. Como
 '>'B* = B' (o fecho da bola aberta), toda vizinhanca de x
 '>'intersecta B e, desta forma, contem um elemento y tal
 '>'que d(y,a) = f(y) < r = f(x). Assim, toda vizinhanca
 '>'de x contem um elemento y tal que f(y) < f(x), do que
 '>'deduzimos que x nao eh minimo relativo de f.
 '>'Concluimos, portanto, que a eh o unico mimo relativo
 '>'de f.
 '>'
 '>'Reciprocamente, suponhamos agora que a seja o unico
 '>'minimo relativo de f. Seja r>0. Para mostrarmos que B*
 '>'= B' (o fecho de B), basta mostrarmos que B* estah
 '>'contido em B' (a inclusao inversa sempre se verifica).
 '>'E, para tanto, basta consideramos os pontos de B* para
 '>'os quais f(x) = d(x,a) = r (os demais estao em B e,
 '>'portanto, estao automaticamente em B'). Como x<>a, x
 '>'nao eh minimo relativo de f e, em razao disto, toda
 '>'vizinhanca de x contem um elemento y tal que f(y) =
 '>'d(y,a) < f(x) = r, de modo que toda vizinhanca de x
 '>'intersecta B. Assim, x estah em B', do que concluimos
 '>'que B* = B'. 
 '>'
 '>'A demonstracao estah agora completa.
 '>'Artur



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================