RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Consideracoes legais, Daniel!
Alem do que vc citou - e que acaba sendo na mesma
linha - uma condicao necessaria e suficiente para que
o fecho de bolas abertas centradas em um ponto a sejam
as respectivas bolas fechadas eh que o ponto a seja o
unico minimo relativo da funcao definida em X por x ->
d(x,a).

Para vermos isso, comecemos observando que, sendo f(x)
= d(x,a) entao a eh minomo global, logo relativo, de
f. Alem disto, eh facil ver (e a sua argumntacao
tambem mostra), que B' esta sempre contido em B*,
sendo B' o fecho da bola aberta B.

Suponhamos que os fechos das bolas abertas centradas
em a sejam as respectivas bolas fechadas. Para x <> a,
seja d(x,a) = f(x) = r >0. Entao, x estah em B*. Como
B* = B' (o fecho da bola aberta), toda vizinhanca de x
intersecta B e, desta forma, contem um elemento y tal
que d(y,a) = f(y) < r = f(x). Assim, toda vizinhanca
de x contem um elemento y tal que f(y) < f(x), do que
deduzimos que x nao eh minimo relativo de f.
Concluimos, portanto, que a eh o unico mimo relativo
de f.

Reciprocamente, suponhamos agora que a seja o unico
minimo relativo de f. Seja r>0. Para mostrarmos que B*
= B' (o fecho de B), basta mostrarmos que B* estah
contido em B' (a inclusao inversa sempre se verifica).
E, para tanto, basta consideramos os pontos de B* para
os quais f(x) = d(x,a) = r (os demais estao em B e,
portanto, estao automaticamente em B'). Como x<>a, x
nao eh minimo relativo de f e, em razao disto, toda
vizinhanca de x contem um elemento y tal que f(y) =
d(y,a) < f(x) = r, de modo que toda vizinhanca de x
intersecta B. Assim, x estah em B', do que concluimos
que B* = B'. 

A demonstracao estah agora completa.
Artur

--- kleinad2@globo.com wrote:

>  '>'Eh verdade que, em todo espaco metrico, o fecho
> de uma bola aberta eh
> a bola
>  '>'fechada de mesmos centro e raio?
> 
> Não. Por exemplo, Z com a métrica vinda do valor
> absoluto: a bola aberta
> unitária de centro em x é {x}, logo ela também é
> fechada e então coincide
> com o fecho. Por outro lado, a bola fechada unitária
> de centro x é o conjunto
> {x-1, x, x+1}.
> 
>  '>'Se x pertence a a um espaco metrico X com
> metrica d, existe alguma condicao
>  '>'necessaria e suficiente para que os fechos das
> bolas abertas centradas
> em
>  '>'x
>  '>'sejam as bolas fechada de mesmos centros e
> raios?
> 
> Para um raio r fixo, sejam B* a bola fechada de raio
> r e centro em x, B
> a bola aberta de mesmo centro e raio, Bf o fecho
> dessa bola e B' o conjunto
> de seus pontos de acumulação. Temos Bf = B U B' e
> queremos saber se B* =
> Bf.
> 
> Como B* é um fechado contendo B, temos que B* contém
> Bf, logo contém B'.
> Para termos B* contido em Bf, é necessário e
> suficiente que todo o bordo
> Bb = {y em X tal que d(y,x) = r} seja ponto de
> aderência de B.
> 
> Assim, é necessário e suficiente que, para todo y em
> Bb e todo t > 0, exista
> x(t) em B tal que 0 < d(y,x(t)) < t. Ou seja, é
> necessário e suficiente
> que inf(d({y}xB)) = 0 para todo y tal que d(y,x) =
> r. Para estender isso
> a toda bola centrada em x, é só exigir a condição
> quando r também varia,
> e isso se expressa exigindo que f(r) =
> inf(d{y}xB(r)), onde r = d(x,y) e
> B(r) é a bola de centro x e raio r, seja
> identicamente nula para todo r
> > 0. Ou seja, {y} não pode ser aberto.
> 
> Em particular, se a métrica toma valores num
> conjunto discreto, então a
> topologia gerada é discreta e todo conjunto unitário
> é aberto, e daí vem
> o porquê do contra-exemplo mais acima.
> 
>  '>'O interior de uma bola fechada de um espaco
> metrico eh sempre a bola
> aberta
>  '>'de mesmos centro e raio?
> 
> Não; novamente, é ver o exemplo da primeira parte.
> 
> Essas questões em espaços métricos também se aplicam
> a intervalos abertos
> e fechados e seus fechos e interiores quando X é um
> conjunto ordenado e
> consideramos a topologia de ordem.
> 
> []s,
> Daniel
> 
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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