RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos

[kleinad2@xxxxxxxxx]

 '>'Eh verdade que, em todo espaco metrico, o fecho de uma bola aberta eh
a bola
 '>'fechada de mesmos centro e raio?

Não. Por exemplo, Z com a métrica vinda do valor absoluto: a bola aberta
unitária de centro em x é {x}, logo ela também é fechada e então coincide
com o fecho. Por outro lado, a bola fechada unitária de centro x é o conjunto
{x-1, x, x+1}.

 '>'Se x pertence a a um espaco metrico X com metrica d, existe alguma condicao
 '>'necessaria e suficiente para que os fechos das bolas abertas centradas
em
 '>'x
 '>'sejam as bolas fechada de mesmos centros e raios?

Para um raio r fixo, sejam B* a bola fechada de raio r e centro em x, B
a bola aberta de mesmo centro e raio, Bf o fecho dessa bola e B' o conjunto
de seus pontos de acumulação. Temos Bf = B U B' e queremos saber se B* =
Bf.

Como B* é um fechado contendo B, temos que B* contém Bf, logo contém B'.
Para termos B* contido em Bf, é necessário e suficiente que todo o bordo
Bb = {y em X tal que d(y,x) = r} seja ponto de aderência de B.

Assim, é necessário e suficiente que, para todo y em Bb e todo t > 0, exista
x(t) em B tal que 0 < d(y,x(t)) < t. Ou seja, é necessário e suficiente
que inf(d({y}xB)) = 0 para todo y tal que d(y,x) = r. Para estender isso
a toda bola centrada em x, é só exigir a condição quando r também varia,
e isso se expressa exigindo que f(r) = inf(d{y}xB(r)), onde r = d(x,y) e
B(r) é a bola de centro x e raio r, seja identicamente nula para todo r
> 0. Ou seja, {y} não pode ser aberto.

Em particular, se a métrica toma valores num conjunto discreto, então a
topologia gerada é discreta e todo conjunto unitário é aberto, e daí vem
o porquê do contra-exemplo mais acima.

 '>'O interior de uma bola fechada de um espaco metrico eh sempre a bola
aberta
 '>'de mesmos centro e raio?

Não; novamente, é ver o exemplo da primeira parte.

Essas questões em espaços métricos também se aplicam a intervalos abertos
e fechados e seus fechos e interiores quando X é um conjunto ordenado e
consideramos a topologia de ordem.

[]s,
Daniel



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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