[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números - MDC

["Bene" <bene@xxxxxxxxxxxx>]

Prezado Daniel,

 

Suponha que  MDC (2a+b, a + 2b) = d,  d  inteiro positivo.

Neste caso, d divide 2a + b   e  d  divide  a + 2b. Portanto,  d  divide a soma (2a +b) + (a + 2b) = 3a + 3b. Logo,  d também divide o número  3(2a + b) - (3a + 3b) =  3a . Pelo mesmo raciocínio,  d   divide  3(a+ 2b) - (3a + 3b) =  3b. Assim,  d  divide  o MDC(3a, 3b) = 3.MDC(a,b) = 3. Portano  d  só pode ser  1  ou 3.

 

Benedito Freire

----- Original Message -----

From: Daniel S. Braz

To: OBM-L

Sent: Friday, March 31, 2006 11:25 AM

Subject: [obm-l] Teoria dos Números - MDC

Pessoal,

 

Alguém pode me dar uma ajuda nessa aqui?

 

Prove que se mdc(a,b)=1 então mdc(2a+b, a+2b)= 1 ou 3.

 

Esse problema está no livro de álgebra do Iezzi, capítulo II. Até esse capítulo o livro só fala das propriedades do mdc, divisibilidade e identidade de Bezout.

 

obrigado.

 

Daniel.