Agradeço qualquer ajuda no problema abaixo. A notação é próxima a do LATEX.
Seja f : [0,T] --> R , f \in L^{2} (ou seja \int_{0}^{T} f^{2}(s)ds < \infty).
Dado N, defina k = T/N e
f_{k} (t)= 0, se 0<= t < k
= 1/k*\int_{(n-1)k}^{k}f(s)ds, se nk <= t < (n+1)k, onde n=1, 2, ..., N-1
Mostre que:
\int_{0}^{t}|f-f_{k}|^{2} tente para 0 quando N tende para infinito.
Novamente, agradeço qualquer ajuda.
Atenciosamente,
Alencar
P.S. 1
Se N=1, temos k=T
f_{T} (t) = 0, 0<=t<T
Se N=2, temos k=T/2
f_{T/2}(t) = 0 se 0<=t<T/2\
= (2/T)\int_{0}^{T/2}f(s)ds se T/2<=t<T
e assim sucessivamente.