[obm-l] Re: [obm-l] fibonacci /eq. diferenças/ transf. z

["Ronaldo Luiz Alonso" <rlalonso@xxxxxxxxxx>]

Alguns comentários relevantes e interessantes:

> Escreva f(z) = F(0) + F(1) z + F(2) z^2 + ... + F(k) z^k + ...

Hmmm.  Isso parece ter um análogo com  métodos para resolver equações 
diferenciais
utilizando séries de potências...

> Escreva agora
> (z + z^2) f(z) =
>        F(0) z + F(1) z^2 + F(2) z^3 + ... + F(k-1) z^k + ...
>                 F(0) z^2 + F(1) z^3 + ... + F(k-2) z^k + ...
>   (usando que F(k-1) + F(k-2) = F(k) e que F(0) = 0)
> =                F(2) z^2 + F(3) z^3 + ... + F(k)   z^k + ...
>   (usando que F(0) = 0, F(1) = 1)
> = f(z) - z

Esse é um truque bastante interessante.  Se multiplicarmos por z +z^2, 
fazemos
um "shift" na sequência, o que nos permite usar a fórmula de Fibonacci.

> Assim f(z) = z/(1-z-z^2) = -z/((z+a)(z+b))
> onde, como antes, a = (1+sqrt(5))/2, b = (1-sqrt(5))/2.
> Queremos agora escrever f(z) = C/(z+a) + D/(z+b).
> Expandindo temos
> f(z) = (Cz+Cb+Dz+Da)/((z+a)(z+b)) = ((C+D)z + (Cb+Da))/((z+a)(z+b))
> donde C+D = -1, bC+aD = 0 donde C = -a/sqrt(5), D = b/sqrt(5).

A decomposição em frações parciais feita pelo professor, é apenas um
outro método de escrever a série de potências.
   A vantagem de escrever a série como ela é mostrada abaixo:


> f(z) = 1/sqrt(5) ( - a/(a+z) + b/(b+z) )
>   (como 1/a = -b, 1/b = -a)
>     = 1/sqrt(5) ( 1/(1-az) - 1/(1-bz) )

É que 1/(1-az), por exemplo, pode ser enxergada como a soma de uma série 
geométrica infinita
1/(1-az) = sum (0,oo) (az)^n   de razão az.  Isso pode ser feito porque |az| 
< 1 ,certo?

> Por outro lado, sabemos (pg infinita) que
> 1/(1-az) = 1 + a z + a^2 z^2 + ... + a^k z^k + ...
> 1/(1-bz) = 1 + b z + b^2 z^2 + ... + b^k z^k + ...

   Alguém que fez ou faz a matéria controle e servomecanismos, identificará 
que esta passagem
está de certo modo relacionada com o uso de transformadas z.

    Explicando melhor:  O leitor se lembra que existe uma analogia entre 
equações de diferença e
equações diferenciais.
    Pois bem.
    Podemos resolver uma equação diferencial usando a transformada de 
Laplace nas funções de
variável t.
    Ao fazermos isso, transformamos uma EQ. DIFERENCIAL  em uma EQ. 
ALGÉBRICA  na
variável complexa s e depois aplicando a transformada inversa obtemos a 
solução da equação na variável t.
    Para equações de diferença dá para fazer a mesma coisa, só que 
aplicando a "transformada z" ao invés
da transformada de Laplace (desde que o disco de convergência da série seja 
< 1).

     O professor Nicolau, nesta mensagem  parece estar provocando a 
imaginação de mentes analíticas ... haha.
[]s
Ronaldo L. Alonso


>
> Assim
> f(z) = 1/sqrt(5) ( (a-b) z + (a^2-b^2) z^2 + ... + (a^k-b^k) z^k + ... )
> que dá a fórmula desejada para F(k).
>
> []s, N.
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
> 

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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