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OPa
vc pode fazer uma induçaum
para n=1 verifica-se
para n=2 verifica-se tb
suponha q seja válido para n=k
vamos verificarr a validade para n=k+1
1+1/2+1/3*...*1/(2^k-1)>k/2 e somamos 1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) +
1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) +aos dois membros
logo o membro esquerdo ficará o somatório
1+1/2+...+1/(2^(k+1)-1)
mas o somatório
1/(2^(k)) +1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) q tem 2^k parcelas
(verifique!)
e 1/(2^(k))
+1/(2^(k)+1) + 1/(2^(k)+2) +...+ 1/(2^(k+1)-1) >
(2^k)/(2^(k+1)-1)
o q resta provar q (2^k)/(2^(k+1)-1) + k/2 > (k+1)/2
q dah em 2^(k+1)> 2^(k+1)-1 o q eh sempre verdadeiro pois consideramos n
sendo inteiro positivo
daih completa a demonstraçaum....
Sum(1/k){k=1-> 2^n-1}>n/2
Pode-se notar também q a integral dessa série eh
divergente e crescente sempre podemos tomar um n na sekuência dada
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n=S tal q S assumas
valores sempre maiores sendo q se assumirmos n=e^k S sempre será maior q
k
abraçaum
Leonardo Broges Avelino
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