Re: [obm-l] Uma Curva Interessante

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Eduardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Eu li algumas mensagens referentes a este tema e vou tentar esclarecer 
algumas. Desde ja adianto que nao sou o autor da questao, apenas recebi o 
problema e estando sem tempo para pensar numa nova questao isolada decidi 
repassar para voces. Segue que nao conheco todos os detalhes...

1) Sei que se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) o campo gravitacional e uniforme, tem a 
direcao do eixo OY e esta orientado e cima para baixo, isto e, e como se o 
eixo OX fosse a superficie do nosso planeta.

2) Como o corpo esta, a principio, em repouso no ponto A quando e solto e, 
alem disso,  Xb > Xa  e Yb < Ya, segue que ele escorrega pela curva y=f(x) 
que queremos determinar e que passa por A e B. Note que o principio de 
conversacao da energia garante que a velocidade so depende da "distancia 
vertical percorrida"

3) Como o comprimento do escorregador ( o pedaco da curva y=f(x) entre A e B 
) e constante e ( igual a L ) maior que a distancia entre A e B, podemos 
supor que E SEMPRE POSSIVEL criar um pequeno pedaco inicial QUASE HORIZONTAL 
de forma a retardar o movimento, forjando assim um tempo total de percuros 
tao grande quanto desejarmos, o que faria o problema ser sem solucao. Por 
esta razao, exige-se que y=f(x) seja convexa entre A e B, isto e, se "a" e 
"b" estao no intervalo fechado [Xa,Xb] entao :

[ ( f(a)+f(b) )/2 ] > f((a+b)/2)

4) No enunciado original o autor falava :

"Sejam A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) tais que Xa < Xb e Ya > Yb. Dentre todas a 
funcoes convexas y=f(x) que passam por A e B tais que :

Integral(Xa ate Xb) raiz_quadrada (1 + (f'(x))^2) = L

Encontre aquela sobre a qual um corpo largado em repouso no ponto A 
deslizaria em tempo maximo ate B"

foi eu, Paulo Santa Rita, que esqueci de citar a palavra "convexa" e 
eliminei a integral simplesmente colocando "comprimento L"

5) Se o problema estiver bem colocado, ele tem o sabor da novidade, pois 
sabemos que o arco de cicloide (  baquistocrona ? ) e uma curva de tempo 
minimo que foi muito estudada pelos Matematicos do seculo XVII/XVIII.

6) Quando ao problema da poligonal implicitamente citado pelo Eduardo, eu 
confesso que nao me lembro totalmente dele, mas vou tentar reproduzi-lo 
abaixo :

Considerem o seguinte problema :

Seja P uma linha poligonal de vértices consecutivos V0, V1, ..., Vn tal que 
os comprimentos dos seus lados L1, L2, ..., Ln ( Li e o lado obtido ligando 
Vi-1 a Vi , i=1,2,...,N ) sejam respectivamente proporcionais aos números 1, 
2, ..., N e todos os seus angulos-externos sejam iguais a um angulo medindo  
2pi/N radianos ( pi=3,1415... ). Tracando-se o segmento de reta ligando V0 a 
Vn, calcular a area da figura fechada formada.

Eu visualizo tres maneiras de faze-lo. Aqui vai a que me parece mais curta ( 
vou resumir os calculos muito triviais ) :

IMAGINE um poligono regular convexo Q ( POLIGONO DE BASE ) de N lados, de 
vértices W0, W1, ..., Wn ( W0=Wn ), centro C1 e cujos lados M1, M2, ..., Mn 
( Mi é o lado obtido ligando Wi-1 a Wi, i=1,2,...,N ) tem todos a medida de 
L1 e foram construídos de forma que M1 coincide com L1.  Tal poligono será 
referenciado como POLIGONO DE BASE.

Sejam |L1| = L  ( medida de L1 ) e R o raio do circulo que circunscreve o 
poligono Q, doravante chamado CIRCULO DE BASE. Claramente que R=V1C1.

Agora, prolongando V1C1 de um segmento C1C2 tal que C1C2=V1C1 e ligando C2 a 
V2, teremos que :

1) O ângulo ANG(C1,V1,V2)=ANG(C1,V1,V0), pois sao angulos da base de dois 
triangulos isosceles congruentes.
2) V1V2=2*V1V0 por construcao da linha poligonal P
3) V1C2=2*V1C1 pela construcao que fizemos acima.

Segue que o triangulo TRI(V1,V2,C2) e semelhante ao triangulo TRI(V0,V1,C1) 
e a razao de semelhanca e 2, vale dizer, a area do triangulo TRI(V1,V2,C2) e 
4 vezes a area do triangulo TRI(V0,V1,C1). Mais ainda : o angulo 
ANG(V0,C1,C2), sendo angulo externo do triangulo TRI(V0,C1,V1), tem medida 
igual a de um ângulo interno do poligono Q

Prolongando V2C2 de um segmento C2C3 tal que C2C3=V1C1 e ligando C3 a V3, 
por razoes analogas ao caso visto acima seguira que o triangulo 
TRI(V2,V3,C3) e semelhante ao triangulo TRI(V0,V1,C1) e a razao de 
semelhanca e 3, vale dizer, a area do triangulo TRI(V2,V3,C3) e 9 vezes a 
area do triangulo TRI(V0,V1,C1). E, igualmente, o ângulo ANG(C1,C2,C3) tera  
medida igual a de um ângulo interno do poligono Q.

Podemos prosseguir, repetindo o estrutura geral do raciocinio acima para 
todos os demais lados da linha poligonal P, isto é, Prolongamos ViCi de um 
segmento CiCi+1 tal que CiCi+1=V1C1 e ligamos Ci+1 a Vi ( i=3,4,...,N-1) :

“o triangulo TRI(Vi,Vi+1,Ci+1) sera semelhante ao triangulo TRI(V0,V1,C1) e 
a razao de semelhanca e i, vale dizer, a area do triangulo TRI(Vi,Vi+1,Ci+1) 
e i^2 vezes a area do triangulo TRI(V0,V1,C1). E, igualmente, o ângulo 
ANG(Ci-1,Ci,Ci+1) tera  medida igual a de um ângulo interno do poligono Q”

Note que assim cobrimos toda a regiao cuja area procuramos, surgindo no 
centro da figura um poligono regular convexo de N lados cujos vertices são 
V0,C1,C2,...,Cn-1 e cujo lado tem medida V1C1, isto é, cujo lado tem medida 
igual a do raio R do circulo que circunscreve o poligono Q. Isto posto, seja 
U a area deste ultimo poligono e T a area do triangulo TRI(V0,V1,C1). Pelo 
que vimos, a area “S” que procuramos sera :

S = ( 1 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 )*T + U
S={[N(N+1)(2N+1)]/6}*T  + U

E facil ver que  :

T=(1/2)*(R^2)*sen(2pi/N)
U=(1/4)*(R^2)*N*cotg(pi/N)

Logo, obtemos uma “formula fechada” para S. Eu acho que era essa "formula 
fechada" que o autor do problema queria. Eu agora visualizo duas outras 
maneiras diferentes de fazer esta questao, mas elas nao sao curtas e o meu 
tempo e. Agora, vou dar um pouco de liberdade a minha imaginacao...

Considerando T e U, e facil ver que ( basta calcular os limites ) :

1) Fixando R e fazendo N tender ao infinito, e claro que S tende ao 
infinito, isto e, sob um CIRCULO DE BASE fixo, podemos abarcar qualquer 
regiao do plano, bastando para tanto construir uma poligonal P com numero de 
lados suficientemente grande.

2) Fixando N e fazendo R tender a zero, e claro que S tende a zero, isto e, 
uma poligonal fixa P se reduzira a um ponto na medida em que diminuirmos o 
raio R do CIRCULO DE BASE.

Os dois fenomenos descritos acima são previsiveis, desinteressantes portanto 
... Haveria uma forma de SIMULTANEAMENTE aumentarmos o numero de lados da 
poligonal (N tender ao infinito) e diminuir o raio do CIRCULO DE BASE (R 
tender a zero) de maneira que a area S se estabilizasse, vale dizer, que a 
area S convergisse para algum valor  ?

A resposta e “SIM”. Dentre inumeras possibilidades uma e evidente, qual 
seja,  impor que o raio do circulo circunscrito ao poligono de vertices 
V0,C1,C2,...,Cn-1, doravante chamado de CIRCULO GERADO, mantenha-se 
constante ... pois neste caso a area U mencionada acima claramente tendera a 
area do CIRCULO GERADO e verificaremos a posteriori que a outra parte da 
area S tambem se estabilizara.

Para ver tudo isso, notemos que o raio do CIRCULO GERADO :

r=(R/2)*cosec(pi/N)

onde “R” e o raio do CIRCULO DE BASE e “cosec” e cossecante. Para manter “r” 
constante, fazemos, por exemplo, r=1. Teremos :

R=2*sen(pi/N)

Isto significa que num CIRCULO DE BASE de raio R=2*sen(pi/N) vamos inscrever 
um POLIGONO DE BASE de N lados e, a seguir, com base neste poligono, 
construimos a linha poligonal P de forma semelhante ao que fizemos acima.

Assim, quando N tende ao infinito, SIMULTANEAMENTE, R tende a zero e a area 
U do CIRCULO GERADO se estabiliza em pi*(r^2)=pi*(1^2)=pi. Precisamos agora 
verificar se a área S tambem se estabiliza.

Fazendo R=2*sen(pi/N) em T=(1/2)*(R^2)*sen(2pi/N) e facil ver que o limite 
de A=( 1 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 )*T e :

LIM A = LIM( 1 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 )*T = (4/3)*(pi^3)

Portanto, a area S se estabiliza em U + A = pi + (4/3)*(pi^3)

Evidente que o valor que acabamos de calcular depende da escolha que 
fizermos para “r”, o raio do CIRCULO GERADO. Neste caso haviamos escolhido 
r=1. Alguem pode desejar encontrar S para um r arbitrario, o que e um 
simples calculo de limite ...

Em que curva ( uma evidente espiral ) se transformou a poligonal P após a 
passagem ao limite ?

Nao tenho tempo para considerar esta questao, mas a minha sensibilidade diz 
que trata-se da involuta do circulo. Alguem consegue provar isso ?

Falando em involuta do circulo me lembrei de um antigo problema que passo 
pra voces :

Seja R o raio de um circulo que imaginamos como um pasto. Na circunferencia 
deste circulo fixamos uma estaca na qual vamos amarrar um cavalo. Precisamos 
determinar o comprimento da corda que prendera o cavalo de forma que ele 
possa comer exatamente a metade ...

Esse problema e trivial, velho e bem conhecido. Mas ele exige metodos 
numericos para a sua solucao.

Usando a involuta do circulo, encontre uma forma diferente de faze-lo de 
maneira que a corda possa ser determinada exatamente.

A lembranca do colega Eduardo Wilner me levou a parar e pensar um pouco 
nestes problemas, razao pela qual dedico a ele esta mensagem.

A todos os outros,
com os melhores votos
de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
4,1054,080206

>From: Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Uma Curva Interessante
>Date: Tue, 7 Feb 2006 20:20:37 +0000 (GMT)
>
>
>
>       Prezado Paulo.
>
>       O problema eh estranho: um corpo submetido  exclusivamente ao seu 
>peso descreve uma trajetória   retilínea,  se a velocidade inicial for 
>vertical ou nula, ou  parabólica se a velocidade inicial for inclinada. 
>Pode esclarecer?
>
>       E por falar nisso, curva lembra poligonal e polignal  nao te lembra 
>nada ?
>      (Desculpe a "forçada")
>
>       Viva.
>
>     Wilner
>
>
>
>Paulo Santa Rita <paulosantarita@hotmail.com> escreveu:  Ola Pessoal,
>
>Alguem me propos o seguinte problema :
>
>"Dentre todas as curvas de mesmo comprimento L que ligam dois pontos A e B
>de um plano, determinar aquela em que um corpo submetido exclusivamente ao
>campo gravitacional da terra (suposto constante ) gasta o tempo maximo para
>ir de A para B."
>
>NOTA : Se A=(Xa,Ya) e B=(Xb,Yb) sao as coordenadas de A e B suponha que Xb 
> >
>Xa e
>Yb < Ya. Tambem suponha que :
>
>distancia entre A e B  <  L  < (Xb - Xa) + (Ya - Yb)
>
>Parece ser um problema interessante, nao trivial. Como estou sem tempo pra
>pensar nele, estou passando pra voces.
>
>Um Abraco a Todos
>Paulo Santa Rita
>3,1414,070206
>
>_________________________________________________________________
>Facilite sua vida: Use o Windows Desktop Search e encontre qualquer arquivo
>ou e-mail em seu PC. Acesse:  http://desktop.msn.com.br
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>
>
>
>---------------------------------
>  Yahoo! Acesso Grátis
>Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!

_________________________________________________________________
Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse 
http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================