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Ola,
para mostrarmos que Z independe de x e y, basta o
derivarmos em relação a x e a y e verificar que da 0.
diff(Z, x) = derivada de Z em relacao a
x
diff(Z, x) = - [ 2a(senx)(cosx) - 2b(senx)(cosx) ]
/ [ a(senx)^2 + b(cosx)^2 ]^2
diff(Z, x) = - 2 [ (senx)(cosx)(a - b) ] /
[a(senx)^2 + b(cosx)^2 ]^2
diff(Z, y) = - 2 [ (seny)(cosy)(a - b) ] /
[a(seny)^2 + b(cosy)^2 ]^2
se a = b, então, esta provado que Z independe de x
e y.
assim, diff(Z, x) e diff(Z, y) serão 0 apenas se x
e y serem iguais a k*pi/2, considerando a diferente de b
vms usar a igualdade:
a(senx)(seny) + b(cosx)(cosy) = 0
vms resolver em x....
se cosx = 0, entao: a(senx)(seny) = 0, porem, se
cosx=0, |senx| = 1, assim, seny = 0
neste caso, x = pi/2 + k*pi, e, y = k*pi ...
satisfez nossas condições para que as derivadas deêm 0.
analisando os casos em q senx=0, seny=0 e cosy=0,
verificamos que todos satisfazem nossas condições.
se ninguem for 0...vms dividir por (cosx)(cosy),
entao:
(tgx)(tgy) = -(b/a)
tgx = A
tgy = B
vms substituir em Z:
Z = 1/[a(senx)^2+b(cosx)^2] + 1/[a(seny)^2+b(cosy)^2]
Z = (secx)^2 / [a(tgx)^2 + b] + (secy)^2 / [a(tgy)^2 + b]
Z = [(tgx)^2 + 1] / [a(tgx)^2 + b] + [(tgy)^2 + 1] / [a(tgy)^2 + b]
Z = [A^2 + 1] / [aA^2 + b] + [B^2 + 1] / [aB^2 + b]
vms manipular o primeiro termo de Z, substituindo A = -(b/a)(1/B)
[A^2 + 1] / [aA^2 + b] = [1 + (b/a)^2 (1/B)^2] / [a (b/a)^2 (1/B)^2 +
b] = [(aB)^2 + b^2] / [ ab (b + aB^2) ]
voltando, temos:
Z = [(aB^2 + b^2] / [ab (b + aB^2)] + [B^2 + 1] / [aB^2 + b]
igualando os denominadores e simplificando, temos:
Z = (a+b)/(ab)
logo, Z independe de x e y.
abraços, Salhab
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