Mesmo
que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe, certo?
Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f do conjunto
Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais. Mas isto eh
impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel e os
irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados,
certo?
Artur
-----Mensagem
original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos
Reis
Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005
12:47
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Função contínua de
irracionais em racionais e vice versa
Olá
Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f
definida em algum intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma
que:
(i) f leva um irracional a um racional
(ii) leva um racional a um
irracional
(iii) seja contínua em todos os pontos
É fácil
construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil também construir uma
que atenda às condições (i) e (ii) e que seja racional em uma quantidade
finita (ou enumerável) de pontos.
Agora não sabíamos construir uma que
fosse contínua em todos. Eu acho que provei que não é possível. Seria possível
alguém verificar a prova?
Tome a e b no intervalo em que f está
definida, de forma que a seja um racional e b seja irracional. Considere o
intervalo definido por [f(a), f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está
contido na imagem de f (pois f é contínua). Então temos que todos os
irracionais contidos no interval [f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R -
Q), devem ser imagem de racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de
f aos racionais do intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de
todos os irracionais do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores
que f. Essa função g deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma
vez cada valor irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é exatamente seu
contradomínio). Então queremos construir uma função sobrejetora de um conjunto
enumerável em um conjunto não-enumerável, o que não é possível (há "mais"
irracionais que racionais, logo não há valores suficientes no domínio de g
para que possamos atingir todos os valores do contradomínio). Então f também
não pode assumir todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a
partir dos racionais entre a e b. Logo não existe tal função f.
Tá
certo issi aí?
Abraço
Bruno
--
Bruno França dos
Reis
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