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[obm-l] RES: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice versa



Mesmo que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe, certo? Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f do conjunto Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais. Mas isto eh impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel e os irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados, certo?
 
Artur 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Bruno França dos Reis
Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 12:47
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice versa

Olá

Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f definida em algum intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma que:
(i) f leva um irracional a um racional
(ii) leva um racional a um irracional
(iii) seja contínua em todos os pontos


É fácil construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil também construir uma que atenda às condições (i) e (ii) e que seja racional em uma quantidade finita (ou enumerável) de pontos.

Agora não sabíamos construir uma que fosse contínua em todos. Eu acho que provei que não é possível. Seria possível alguém verificar a prova?

Tome a e b no intervalo em que f está definida, de forma que a seja um racional e b seja irracional. Considere o intervalo definido por [f(a), f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está contido na imagem de f (pois f é contínua). Então temos que todos os irracionais contidos no interval [f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R - Q), devem ser imagem de racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de f aos racionais do intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de todos os irracionais do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores que f. Essa função g deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma vez cada valor irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é exatamente seu contradomínio). Então queremos construir uma função sobrejetora de um conjunto enumerável em um conjunto não-enumerável, o que não é possível (há "mais" irracionais que racionais, logo não há valores suficientes no domínio de g para que possamos atingir todos os valores do contradomínio). Então f também não pode assumir todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a partir dos racionais entre a e b. Logo não existe tal função f.

Tá certo issi aí?

Abraço
Bruno

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Bruno França dos Reis
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