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[obm-l] RES: [obm-l] Fun��o cont�nua de irracionais em racionais e vice versa
Na sua
prova, vc disse que a funcao g eh sobrejetora. Mas podemos garantr a
existencia desta g?
Artur
Ol�
Um amigo
me prop�s uma quest�o: construa uma fun��o f definida em algum intervalo dos
reais (ou em todos os reais) de forma que:
(i) f leva um irracional a um
racional
(ii) leva um racional a um irracional
(iii) seja cont�nua em
todos os pontos
� f�cil construir uma que atenda �s condi��es (i) e
(ii). � f�cil tamb�m construir uma que atenda �s condi��es (i) e (ii) e que
seja racional em uma quantidade finita (ou enumer�vel) de pontos.
Agora
n�o sab�amos construir uma que fosse cont�nua em todos. Eu acho que provei que
n�o � poss�vel. Seria poss�vel algu�m verificar a prova?
Tome a e b no
intervalo em que f est� definida, de forma que a seja um racional e b seja
irracional. Considere o intervalo definido por [f(a), f(b)] (f(a) != f(b),
obviamente), que est� contido na imagem de f (pois f � cont�nua). Ent�o temos
que todos os irracionais contidos no interval [f(a),f(b)], isto �: [f(a),f(b)]
inter (R - Q), devem ser imagem de racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma
restri��o de f aos racionais do intervalo [a,b], com contradom�nio igual ao
conjunto de todos os irracionais do intervalo [f(a),f(b)], que assume os
mesmos valores que f. Essa fun��o g deve ser sobrejetora (pois tem que assumir
pelo menos uma vez cada valor irracional do intervalo [f(a),f(b)], que �
exatamente seu contradom�nio). Ent�o queremos construir uma fun��o sobrejetora
de um conjunto enumer�vel em um conjunto n�o-enumer�vel, o que n�o � poss�vel
(h� "mais" irracionais que racionais, logo n�o h� valores suficientes no
dom�nio de g para que possamos atingir todos os valores do contradom�nio).
Ent�o f tamb�m n�o pode assumir todos os valores irracionais entre f(a) e f(b)
somente a partir dos racionais entre a e b. Logo n�o existe tal fun��o
f.
T� certo issi a�?
Abra�o
Bruno
--
Bruno Fran�a dos Reis
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