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[obm-l] =?ISO-8859-15?Q?RES=3A_=5Bobm-l=5D_RE=3A_=5Bobm-l=5D_Fun=E7=E3?==?ISO-8859-15?Q?o_cont=EDnua_de_irracionais_em_racionais_e_vice_versa?=
Eh verdade, nao estava dito que f tinha que ser injetora ou sobrejetora. Se
abrirmos mao da continuidade, a tal funcao existe sim. Acho que sua prova
estah OK.
Uma outra forma de provarmos que esta funcao nao pode existir, se exigirmos
continuidade, eh nos basearmos no fato de que R eh um espaco de Baire e que,
em razao disto, o conjunto IQ, dos irracionais, nao eh F-sigma.
Se existisse uma funcao f conforme estabelecido, entao teriamos que IQ =
f^(-1)(Q) (IQ imagem inversa de Q). Como Q eh enumeravel, Q = {r_1} U
{r_2}...., onde os r_i sao os numeros racionais. Pelas propriedades da
imagem inversa de funcoes, IQ = f^(-1)({r_1}) U f^(-1)({r_2}).... Como
estamos em R, cada {r_i} eh fechado, o que, em virtude da continuidade de f,
implica que cada f^(-1)({r_i}) tambem o seja. Logo, IQ eh dado por uma uniao
enumeravel de conjuntos fechados, o que contraria o fato de que IQ nao eh
F-sigma.
Argumento similar vale para funcoes definidas em intervalos limitados de R.
Artur
-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de kleinad2@globo.com
Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 16:35
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais
e vice versa
Se f não é contínua, no enunciado nada me impede de fazer f(x) = 1 para
todo x irracional e f(y) = pi para todo y racional, já que não tem nada
exigindo injetividade ou sobrejetividade.
Por outro lado, se quiséssemos f contínua, realmente não é possível. Seja
I um intervalo, f:I --> R satisfazendo as 3 condições. Seja X = Q inter
I, e Y = Q* inter I (* indica complementar). Logo, I = X uniao Y. Como f
é função, #f(X) <= #X <=#Q. E pela condição f(Y) contido em Q, temos #f(Y)
<= #Q. Logo, f(I) é enumerável.
No entanto, como f é contínua e I é conexo, f(I) também é conexo, o que
aliado à enumerabilidade e ao fato de que estamos em R implica que f(I)
é um ponto. Assim, como f(X) inter f(Y) é vazio, a única possibilidade é
que I contenha apenas racionais ou apenas irracionais, logo, sendo
intervalo,
I só pode consistir num único ponto. Como isso não é interessante, fica
provado (se é que não cometi erros, hehehe) que, para I não-degenerado,
tal f não pode existir.
[]s,
Daniel
'>'-- Mensagem Original --
'>'From: Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
'>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Função contínua de irr
'>' acionais em racionais e vice versa
'>'Date: Thu, 8 Dec 2005 15:58:36 -0200
'>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
'>'
'>'
'>'Mesmo que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe,
certo?
'>'Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f
do
'>'conjunto Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais.
Mas isto
'>'eh impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel
e os
'>'irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados,
'>'certo?
'>'
'>'Artur
'>'
'>' -----Mensagem original-----
'>'De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome
'>'de
'>'Bruno França dos Reis
'>'Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 12:47
'>'Para: OBM
'>'Assunto: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice
versa
'>'
'>'
'>'
'>'Olá
'>'
'>'Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f definida em algum
'>'intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma que:
'>'(i) f leva um irracional a um racional
'>'(ii) leva um racional a um irracional
'>'(iii) seja contínua em todos os pontos
'>'
'>'
'>'É fácil construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil também
'>'construir uma que atenda às condições (i) e (ii) e que seja racional
em uma
'>'quantidade finita (ou enumerável) de pontos.
'>'
'>'Agora não sabíamos construir uma que fosse contínua em todos. Eu acho
que
'>'provei que não é possível. Seria possível alguém verificar a prova?
'>'
'>'Tome a e b no intervalo em que f está definida, de forma que a seja
um
'>'racional e b seja irracional. Considere o intervalo definido por [f(a),
'>'f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está contido na imagem de f (pois
f
'>'é
'>'contínua). Então temos que todos os irracionais contidos no interval
'>'[f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R - Q), devem ser imagem de
'>'racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de f aos racionais
do
'>'intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de todos os
irracionais
'>'do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores que f. Essa
função
'>'g
'>'deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma vez cada valor
'>'irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é exatamente seu
contradomínio).
'>'Então queremos construir uma função sobrejetora de um conjunto
enumerável
'>'em
'>'um conjunto não-enumerável, o que não é possível (há "mais" irracionais
que
'>'racionais, logo não há valores suficientes no domínio de g para que
possamos
'>'atingir todos os valores do contradomínio). Então f também não pode
assumir
'>'todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a partir dos
'>'racionais entre a e b. Logo não existe tal função f.
'>'
'>'Tá certo issi aí?
'>'
'>'Abraço
'>'Bruno
'>'
'>'--
'>'Bruno França dos Reis
'>'email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com>
'>'gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
'>'<http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key>
'>'icq: 12626000
'>'
'>'e^(pi*i)+1=0
'>'
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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