Re: [obm-l] valor medio para integrais

[gugu@xxxxxxx]

   Caro Eric,
   As condições 3 e 4 não parecem necessárias (pelo menos desde que a área de B
seja finita): Se area(B)=0 qualquer P serve. Se area(B)>0, seja
m=integral(f dxdy sobre B)/area(B). Temos integral((f-m)dxdy sobre B)=0, donde
existem Q e R em B tais que (f-m)(Q)=f(Q)-m<=0 e (f-m)(R)=f(R)-m>=0. Ligando P
a Q por uma curva contínua, e usando o teorema do valor intermediario em R para
a composta de f com essa curva, segue que existe algum ponto P na curva com
f(P)=0.
   A condição 6 serve para que a área de B (e a integral) estejam bem definidas,
se estivermos trabalhando com a integral de Riemann. Se estivermos trabalhando
com a integral de Lebesgue, que é mais geral, ela também não parece necessária,
e o argumento acima parece funcionar também.
   Abraços,
             Gugu

Quoting Eric Campos <mathfire2001@yahoo.com.br>:

> Saudacoes!
>
> Estou com uma duvida com respeito ao topico
> "propriedade do valor medio para integrais", do livro
> do Guidorizzi (vol.3, 2.ed). O teorema do livro eh o
> seguinte:
>
> Seja f:B->R, B contido em R^2. Cumprindo-se:
>
> (hipotese)
> 1. f integravel;
> 2. f eh continua em B;
> 3. B eh limitado;
> 4. B eh fechado;
> 5. para cada par de pontos b_1, b_2 em B, existe uma
> curva continua (com imagem contida em B) que liga
> ambos;
> 6. a fronteira de B tem conteudo nulo (um conjunto D
> tem conteudo nulo se para cada eps>0 existe um numero
> finito de retangulos A_1, A_2, ... A_n, tais que D
> esteja contido na uniao dos A_i's e a soma das areas
> destes A_i's eh menor que eps.)
>
> entao
>
> (tese)
> existe pelo menos um ponto P=(r,s) em B tal que
>
> integral(f dxdy sobre B) =
> = f(r,s)*integral(dxdy sobre B) =
> = f(r,s)*area(B).
>
> Gostaria de saber se a tese continua valendo se
> omitirmos alguma das 6 condicoes da hipotese.
>
> Eh claro que a condicao 1 tem que valer, senao a tese
> nao faria sentido.
>
> Tambem sei que a condicao 2 (continuidade) tem que
> valer. Basta considerar o exemplo:
>
> f(x,y) = 1 se x=0 e f(x,y) = x caso contrario, para
> (x,y) satisfazendo -1<=x<=1, -1<=y<=1, isto eh, B eh o
> quadrado de vertices (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1).
> Neste caso integral(f dxdy sobre B) = 0, mas nao
> existe (r,s) em B tal que f(r,s)=0.
>
> Eh facil ver que a condicao 5 eh necessaria. Tome B =
> B_1 uniao B_2 onde a distancia entre B_1 e B_2 eh
> maior que zero; defina f(x) = -1 se x estah em B_1 e
> f(x)=1 se x esta em B_2 (x eh ponto do plano). Admita
> ainda que as areas de B_1 e B_2 sejam iguais. Entao a
> integral de f sobre B eh 0, mas nao existe x em B tal
> que f(x)*Area(B)=0, pois ou f(x)=1 ou f(x)=-1. Logo a
> condicao 5 eh necessaria.
>
> Entao cada uma das condicoes 1, 2, e 5 eh necessaria,
> porem nao consegui exemplos que me mostrassem que as
> condicoes 3, 4 e 6 sao tambem necessarias. Voces
> poderiam me dar um exemplo para cada um desses 3
> casos?
>
> Amplexos!
>
> Eric.
>
>
>
> ==========================================
> http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001
> www.mathfire.pop.com.br
> Enciclopedia de Matematica - Aulas
> Formulas para primos - Grupos de Estudo
> Projeto Matematica para Todos
> mathfire2001@yahoo.com.br
> MSN: eric1729@hotmail.com
> ==========================================
>
> __________________________________________________
> Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger
> http://br.download.yahoo.com/messenger/
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>




----------------------------------------------------------------
This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================