Caríssimos,
Tal problema estava na terceira fase da olimpíada de matemática da Unicamp,
elaborada por A. C. Patrocínio.
"Sejam a, b e c números naturais não-nulos e suponha que a reta ax+by+c=0
passe pelo ponto (xo,yo) com xo e yo inteiros. Mostre que a mesma reta passa
por infinitos pontosde coordenadas inteiras."
Não sei se está correta minha resolução, que foi a de isolar xo e yo,
afinal são raízes da equação. Somei então duas constantes inteiras, k' e k'',
uma a xo e outra a yo. Isolando novamente xo e yo, acrescidos agora desta
constante, e colocando-os de volta na equação, obtem-se
a(xo+2k') + b(yo+2k'') + c = 0
o que nitidamente mostra que (xo+2k';yo+2k'') é outra raiz da equaçao,
outro ponto de inteiros pelo qual a reta passa. E assim, por indução,
temos que ha infinitos pontos de coordenadas inteiras que satisfazem
ax+by+c=0.
Será que poderiam comentar a resolução? Haveria uma interpretação
geométrica? Pensei em semelhança de triângulos, para fazer a mesma
demonstraçao de um modo pouco mais elegante...
Abraço a todos, agradeço previamente,
Renato