Re: RES: [obm-l] Derivada convexa

[Fabio Niski <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Claro..

Seja g = f' entao.
Vou supor que g seja continua em um intervalo I.
Sejam x,y \in I e suponha que x < y. Para n = 0, 1,2... tome
T[n] = { i/(2^n) : i = 0,1,...,2^n}. Vamos mostrar por inducao que para 
n = 0 ,1, .... e para s /in T[n],
g((1-s)x +sy) <= (1-s)g(x) + sg(y).
Se n = 0, entao s = 0 ou s = 1 e portanto a desigualdade acima é 
evidente. Supondo que a desigualdade seja valida para um n arbitrario n 
\in {0,1...} e para s \in T[n], vamos prova-la para n + 1. Suponha que s 
\in T[n+1].  É facil ver que basta considerar o caso s não pertence a 
T[n]. Como existem w, z \in T[n] tal que s = (w + z)/2, temos que

(1-s)x + sy = ... = [((1-w)x+wy)+((1-z)x + zy)]/2
Pela hipotese
g((1-s)x + sy) <= [g((1-w)x+wy)+g((1-z)x+zy)]/2
agora pela hipotese de inducao
g((1-s)x+sy) <= [(1-w)g(x) + wg(y) + (1-z)g(x)+zg(y)]/2
               = (1-s)g(x) + sg(y)
Seja t um ponto arbritrariamente escolhido em [0,1]. Como o conjunto
T = U T[n] [n =0 até inf] é denso em [0,1], existe uma sequencia {s[n]} 
de pontos em T tal que t = lim(s[n]) (n -> inf). Assim, pela 
continuidade de g,
g((1-t)x + ty) = lim[g((1-s[n])x + s[n]y)] <= lim[((1-s[n])g(x) + 
s[n]g(y))] = (1-t)g(x) + tg(y).



Artur Costa Steiner wrote:

> De fato dah . A condicao  f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 sozinha nao
> garante garante continuidade, mas esta condicao, aliada ao fato de que f' eh
> uma derivada , garante continuidade.
> Vc poderia apresentar a prova que vc conhece?
> Artur
> 
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Fabio Niski
> Enviada em: quinta-feira, 25 de agosto de 2005 12:32
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Derivada convexa
> 
> 
> Artur Costa Steiner wrote:
> 
>>Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
>>
>>Mostre que, se f:R-->R  for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
>>f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
> 
> convexa
> 
>>em R.
>>Artur 
> 
> 
> Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os 
> pontos? Se sim eu conheco a solucao.
> 
> 


-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

"sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it
be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps
never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which
by analogy should signify sin(sin(x))"

Carl Friedrich Gauss
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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