RES: [obm-l] Derivada convexa

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

A prova que eu achei para esta proposicao, baseada no que li sobre teoria de
medidas, baseia-se nos seguintes fatos: 

A condicao (1) g(x+y)/2) <= (g(x) + g(y))/2 para todos reais x e y aliada aa
continuidade de g em R garante que g seja convexa em R. Entretanto, (1)
apenas nao garante continuidade de g em R e nem convexidade (o que
garantiria continuidade).

Se (1) vigorar para uma funcao g e g for mensuravel (com relacao aa medida
de Lebesgue), entao g eh continua em R, disto se seguindo que g eh convexa.
Lembro que uma funcao eh mensuravel segundo a medida de Lebesgue se, para
todo real a, o conjunto {x em R | f(x) > a} for um conjunto de Borel. Temos
portanto que, se g for mensuravel e satisfizer a (1), entao g eh convexa.

Toda derivada f' eh, em um intervalo aberto, o limite, ao menos ponto a
ponto, de uma sequencia de funcoes continuas. Toda funcao continua eh
mensuravel, logo toda derivada eh, em um intervalo aberto,  o limite de uma
sequencia de funcoes mensuraveis. Logo, toda derivada f' eh mensuravel, pois
limites de sequencias de funcoes mensuraveis sao sempre mensuraveis.

Segue-se portanto que, se tivermos f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para
todos x e y de R, entao f' eh continua e, consequentemenet, convexa.

Artur  


Artur Costa Steiner wrote:
> Eu achei este problema, um tanto sutil, interessante:
> 
> Mostre que, se f:R-->R  for diferenciavel e sua derivada f' satisfizer a
> f'((x+y)/2) <= (f'(x) + f'(y))/2 para todos reais x e y, entao f' eh
convexa
> em R.
> Artur 

Antes te pergunto: Será que dá pra afirmar que f' é continua em todos os 
pontos? Se sim eu conheco a solucao.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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