Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas

[Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

Você não tem nem um "zero" onde você possa calcular fácil o "f(u)" limite não?
E quanto ao teorema de Lebesgue, ele é realmente muito mais forte, mas
repare que ele dá conclusões \mu-qtp, em vez de R; além disso, esse é
um resultado clássico em Teoria da Integração à Riemman (que você pode
achar - e eu concordo - ultrapassada em muito em utilidade pela de
Lebesgue) que ainda assim tem um pouco de aplicação.

Fiquei curioso: você pode dar detalhes desta suas "g_n"?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa


On 8/18/05, Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com> wrote:
> No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que
> converge uniformente para uma funcao g. Mas nao
> consegui provar que existe um ponto u no qual a
> sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu
> estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra
> condicao que me garantissse a convergencia da
> sequencia das primitivas. Mas nao achei.
> 
> No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais,
> eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando
> o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue.
> 
> Artur
> 
> --- Bernardo Freitas Paulo da Costa
> <bernardofpc@gmail.com> wrote:
> 
> > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado
> > porque precisa da hipótese
> > de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda
> > um pouco de utilidade
> > para este teorema, uma vez que ele normalmente é
> > usado para provar
> > convergência de funções definidas por integrais, que
> > então tem todas um
> > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto
> > inicial no caso de funções
> > \int_a^x g_n(t) dt)
> >
> > Tentando fazer uma demostração, o importante da
> > convergência em um ponto da
> > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de
> > "trocar derivada com
> > integral", usando que você tem um ponto (este u
> > especial) onde as séries
> > coincidem no infinito (ou seja, para n
> > suficientemente grande, | f_n(u) -
> > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das
> > derivadas, você pode
> > definir uma
> > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt
> > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) |
> > = | \int_0^h g_n(u+t)dt
> > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da
> > convergência uniforme das g_n,
> > você tem a convergência da integral da diferença
> > para zero, e portanto você
> > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter
> > também convergência de
> > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil
> > achar um ponto onde
> > estas funções coincidem, utilizando alguma
> > particularidade das funcões g_n.
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> >
> > On 8/16/05, claudio.buffara
> > <claudio.buffara@terra.com.br > wrote:
> > >
> > >    *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > >   *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br
> > >   *Cópia:*
> > >    *Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300
> > >   *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das
> > derivadas
> > > > Bom dia a todos
> > > >
> > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e
> > diferenciaveis em um
> > > intervalo
> > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas
> > f'_n convirja
> > > uniformemente
> > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz
> > que, se a sequencia de
> > > numero
> > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao
> > f_n converge
> > > uniformemente
> > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta
> > ultima condicao eh
> > > > realmente essencial?
> > >  Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por:
> > > f_n(x) = x + (-1)^n.
> > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge
> > uniformemente para a função
> > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não
> > converge.
> > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não
> > converge.
> > >  Se soubermos que f'_n converge uniformemente em
> > I, já
> > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa
> > convergencia das
> > > primitivas?
> > >  Não, conforme o exemplo acima.
> > >  > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao
> > continuas, temos entao alguma
> > > > conclusao interessante, alem de que g eh
> > continua?
> > > >
> > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==>
> > f_n' integrável. Mas
> > > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u))
> > para algum u.
> > >  > Eu acho que hah um teorema que se refere ao
> > caso em que as f'_n sao
> > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh.
> > > >
> > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser
> > convergente para algum u
> > > permanece necessária.
> > >  []s,
> > > Claudio.
> > >
> >
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