Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas que
converge uniformente para uma funcao g. Mas nao
consegui provar que existe um ponto u no qual a
sequencia das primitivas converge. Eh por isso que eu
estava querendo descobrir, se possivel, alguma outra
condicao que me garantissse a convergencia da
sequencia das primitivas. Mas nao achei.

No caso de sequencias de funcoes dadas por integrais,
eh algumas vezes mais facil provar convergencia usando
o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue.

Artur   

--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardofpc@gmail.com> wrote:

> Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado
> porque precisa da hipótese 
> de convergência de f_n(u) para algum u, existe ainda
> um pouco de utilidade 
> para este teorema, uma vez que ele normalmente é
> usado para provar 
> convergência de funções definidas por integrais, que
> então tem todas um 
> ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto
> inicial no caso de funções 
> \int_a^x g_n(t) dt)
> 
> Tentando fazer uma demostração, o importante da
> convergência em um ponto da 
> série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia de
> "trocar derivada com 
> integral", usando que você tem um ponto (este u
> especial) onde as séries 
> coincidem no infinito (ou seja, para n
> suficientemente grande, | f_n(u) - 
> f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência das
> derivadas, você pode 
> definir uma
> f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt
> Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) - f(u+h) |
> = | \int_0^h g_n(u+t)dt 
> - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da
> convergência uniforme das g_n, 
> você tem a convergência da integral da diferença
> para zero, e portanto você 
> (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter
> também convergência de 
> f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser fácil
> achar um ponto onde 
> estas funções coincidem, utilizando alguma
> particularidade das funcões g_n.
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> 
> On 8/16/05, claudio.buffara
> <claudio.buffara@terra.com.br > wrote:
> > 
> >    *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br 
> >   *Para:* "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br 
> >   *Cópia:* 
> >    *Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300
> >   *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia das
> derivadas
> > > Bom dia a todos
> > > 
> > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e
> diferenciaveis em um 
> > intervalo
> > > I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas
> f'_n convirja 
> > uniformemente
> > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz
> que, se a sequencia de 
> > numero
> > > reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao
> f_n converge 
> > uniformemente
> > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta
> ultima condicao eh
> > > realmente essencial? 
> >  Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por:
> > f_n(x) = x + (-1)^n.
> > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge
> uniformemente para a função 
> > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não
> converge. 
> > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não
> converge.
> >  Se soubermos que f'_n converge uniformemente em
> I, já
> > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa
> convergencia das 
> > primitivas?
> >  Não, conforme o exemplo acima.
> >  > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao
> continuas, temos entao alguma
> > > conclusao interessante, alem de que g eh
> continua?
> > >
> > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==>
> f_n' integrável. Mas 
> > continuamos a precisar da convergência de (f_n(u))
> para algum u.
> >  > Eu acho que hah um teorema que se refere ao
> caso em que as f'_n sao
> > > Lipschitz, mas nao sei qual eh.
> > >
> > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser
> convergente para algum u 
> > permanece necessária.
> >  []s,
> > Claudio.
> >
> 


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