Re: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

A dificuldade eh que se trata de um problema no qual
as funcoes sao obtidas por um modelo de simulacao.
Basicamente, eu tenho um modelo que simula a operacao
do sistema eletrico brasileiro e, com base em
programacao dinamica estocastica, procura minimizar o
custo total de operacao. Conforme seja a carga q>=0 do
sistema, temos um custo total C(q), composto por
custos com combustiveis e custos da energia nao
suprida.

Ese modelo eh muito pesado, leva 6 horas de
processamente em Pentiums de 2,4 GHz de CPU. Eu estou
tentando encontrar uma forma pratica de, com base nas
saidas  para uma carga q_0, estimar em uma planilha o
custo total e, principalmente, o marginal, para uma
nova carga q. Nos desenvolvemos alguns estudos e temos
uma sequencia de funcoes C_n que eu espero convirja
para o custo total C. Esta funcoes sao diferenciaveis
em (0, oo), (o algoritmo nao funcioma para q =0), 
embora eu nao tenha uma formula fechada para as
mesmas. Cada C'_n eh crescente, o que implica que seja
tambem continua. Alem disto, para cada q, {C'_n(q)} eh
uma sequencia crescente e limitada de reais, logo
convergente. Assim, temos que C'_n coverge para alguma
funcao G. Utilizando o teorema  de Polya ou, no caso,
o de Dini, podemos afirmar que em qualquer intervalo
compacto de (0, oo) a convergencia C'_n --> G eh
uniforme.   

Se eu agora pudese garantir que para algum u>0 a
sequencia de reais (C_n(u)) fosse convergente, eu
teria o resultado desejado. Mas o meu algoritmo para
as derivadas nao funciona em q=0. Eh verdade que,
trivialmente, C_n(0) = 0 pra todo n, mas 0 nao
pertence a (0, oo). Assim, eu estou tentando provar
que que para todo n existe lim (q -->0+) C'_n(q). Tudo
indica que sim,mas nao tenho uma prova matematica.

Outro problema eh que, embora a convergencia de C'_n
--> G seja uniforme em [k1, k2] para todos  0 < k1 <
k2, isso nao garante convergencia uniforme em (0, oo)
e nem mesmo em [0, k] para algum k> 0. Logo, eu ainda
nao consegui extender para [0, oo) a convergencia da
seq. das derivadas. Na realidae, eu nao preciso
trabalhar em [0, oo) , posso me restringir a um
intervalo do tipo [0, M]. Minha carga maxima eh sempre
finita e possoa admiti-la conhecida. Mas o problema
estah no zero.

Agradeco o interesse. 

Artur  

--- Bernardo Freitas Paulo da Costa
<bernardofpc@gmail.com> wrote:

> Você não tem nem um "zero" onde você possa calcular
> fácil o "f(u)" limite não?
> E quanto ao teorema de Lebesgue, ele é realmente
> muito mais forte, mas
> repare que ele dá conclusões \mu-qtp, em vez de R;
> além disso, esse é
> um resultado clássico em Teoria da Integração à
> Riemman (que você pode
> achar - e eu concordo - ultrapassada em muito em
> utilidade pela de
> Lebesgue) que ainda assim tem um pouco de aplicação.
> 
> Fiquei curioso: você pode dar detalhes desta suas
> "g_n"?
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> 
> On 8/18/05, Artur Costa Steiner
> <artur_steiner@yahoo.com> wrote:
> > No meu caso, eu tenho um a sequencia de derivadas
> que
> > converge uniformente para uma funcao g. Mas nao
> > consegui provar que existe um ponto u no qual a
> > sequencia das primitivas converge. Eh por isso que
> eu
> > estava querendo descobrir, se possivel, alguma
> outra
> > condicao que me garantissse a convergencia da
> > sequencia das primitivas. Mas nao achei.
> > 
> > No caso de sequencias de funcoes dadas por
> integrais,
> > eh algumas vezes mais facil provar convergencia
> usando
> > o Teorema da Convergencia Dominada, de Lerbesgue.
> > 
> > Artur
> > 
> > --- Bernardo Freitas Paulo da Costa
> > <bernardofpc@gmail.com> wrote:
> > 
> > > Bom, apesar de o Cláudio ter muito bem explicado
> > > porque precisa da hipótese
> > > de convergência de f_n(u) para algum u, existe
> ainda
> > > um pouco de utilidade
> > > para este teorema, uma vez que ele normalmente é
> > > usado para provar
> > > convergência de funções definidas por integrais,
> que
> > > então tem todas um
> > > ponto comum (por exemplo, valem zero no ponto
> > > inicial no caso de funções
> > > \int_a^x g_n(t) dt)
> > >
> > > Tentando fazer uma demostração, o importante da
> > > convergência em um ponto da
> > > série f_n(u) é poder usar justamente uma idéia
> de
> > > "trocar derivada com
> > > integral", usando que você tem um ponto (este u
> > > especial) onde as séries
> > > coincidem no infinito (ou seja, para n
> > > suficientemente grande, | f_n(u) -
> > > f(u) | < eps/2), e do argumento de convergência
> das
> > > derivadas, você pode
> > > definir uma
> > > f(u+h) = f(u) + \int_0^h g(u+t) dt
> > > Daí, você deve achar algo como | f_n(u+h) -
> f(u+h) |
> > > = | \int_0^h g_n(u+t)dt
> > > - \int_0^h g(u+t)dt | + | f_n(u) - f(u) |. Da
> > > convergência uniforme das g_n,
> > > você tem a convergência da integral da diferença
> > > para zero, e portanto você
> > > (se quiser que f_n(u+h) -> f(u+h) ) tem que ter
> > > também convergência de
> > > f_n(u) para f(u). Repare que em geral pode ser
> fácil
> > > achar um ponto onde
> > > estas funções coincidem, utilizando alguma
> > > particularidade das funcões g_n.
> > >
> > > Abraços,
> > > --
> > > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> > >
> > >
> > > On 8/16/05, claudio.buffara
> > > <claudio.buffara@terra.com.br > wrote:
> > > >
> > > >    *De:* owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >   *Para:* "OBM-l (E-mail)"
> obm-l@mat.puc-rio.br
> > > >   *Cópia:*
> > > >    *Data:* Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300
> > > >   *Assunto:* [obm-l] convergencia da sequencia
> das
> > > derivadas
> > > > > Bom dia a todos
> > > > >
> > > > > Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas
> e
> > > diferenciaveis em um
> > > > intervalo
> > > > > I de R. Suponhamos que a sequencia das
> derivadas
> > > f'_n convirja
> > > > uniformemente
> > > > > em I para uma funcao g. Hah um teorema que
> diz
> > > que, se a sequencia de
> > > > numero
> > > > > reais f_n(u) convergir para algum u de I,
> entao
> > > f_n converge
> > > > uniformemente
> > > > > em I para uma funcao f tal que f' = g em I.
> Esta
> > > ultima condicao eh
> > > > > realmente essencial?
> > > >  Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por:
> > > > f_n(x) = x + (-1)^n.
> > > > Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge
> > > uniformemente para a função
> > > > constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não
> > > converge.
> > > > Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u)
> não
> > > converge.
> > > >  Se soubermos que f'_n converge uniformemente
> em
> > > I, já
> > > > > podemos entao fazer alguma inferencia quanto
> aa
> > > convergencia das
> > > > primitivas?
> > > >  Não, conforme o exemplo acima.
> > > >  > Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao
> > > continuas, temos entao alguma
> > > > > conclusao interessante, alem de que g eh
> > > continua?
> > > > >
> > > > Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua
> ==>
> > > f_n' integrável. Mas
> > > > continuamos a precisar da convergência de
> (f_n(u))
> > > para algum u.
> > > >  > Eu acho que hah um teorema que se refere ao
> > > caso em que as f'_n sao
> > > > > Lipschitz, mas nao sei qual eh.
> > > > >
> > > > Me parece que a condição de (f_n(u)) ser
> > > convergente para algum u
> > > > permanece necessária.
> > > >  []s,
> > > > Claudio.
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