Re: [obm-l] trigonometria

[Marcio <ddcristo@xxxxxxxxxx>]

Boa tarde a todos.

Caro Jefferson,

Vamos, em primeiro lugar, lembrar a questão original, que era mais ou  
menos assim: "As tangentes dos três ângulos internos de um triângulo são  
números inteiros e positivos. Calcule seus valores."

Eu propus uma solução chegando ao terno (1, 2, 3), mas havia afirmado que  
não sabia se a solução era única. Depois, um colega provou que não é  
possível que duas das tangentes sejam maiores que 2, mostrando, então, que  
a solução (1, 2, 3) é única.

Se o problema que você está resolvendo é esse, as suas duas conjecturas  
são falsas.

Suponhamos que bc = 3, ac = 3 e ab = 3. Das duas primeiras igualdades vem  
que a/b = 1, ou seja, a = b, que usado na terceira igualdade produz a = b  
= srqt(3), valores não inteiros.

Uma situação análoga acontece na sua segunda suposição.

Sendo assim, parece-me que o problema tem apenas uma solução.

[]s,

Márcio.



On Tue, 16 Aug 2005 19:13:02 -0700, Jefferson Franca  
<jeffmaths@yahoo.com.br> wrote:

> Meu caro amigo e ex aluno Eurico, vc não deve ter pensado no seguinte:
> a + b + c = a.b.c <=> (1/bc) + (1/ac) + (1/ab) = 1  e, suponha que bc =  
> 3, ac = 3 e ab = 3, e se tivéssemos bc = 2, ac = 4 e ab = 4?
> Eu, sinceramente acho que esta questão não tem só uma solução como vc  
> afirma.
> Valeu e abraço
>
> Antonio Eurico Dias <o_fim@yahoo.com> escreveu:
>
> E completando o raciocinio do Dirichlet:
>
> TgA + TgB + TgC = TgA. TgB. TgC
>
> a + b + c = a.b.c  <=>  abc - a = b + c <=> a (bc - 1) = b + c
>
> a = (b + c) / (bc - 1), como a é inteiro positivo: b + c >= bc - 1  <=>   
> bc - b <= c + 1
>
> b.(c - 1) <= c + 1   <=>  b <= (c+1)/(c-1)   <=>   b <= 1 +   2/(c-1)
>
> Logo, como b também é inteiro   c - 1 = 2 ou c -1 = 1, que levam ao  
> unico conjunto de solucoes inteiras positivas
>
> (1 , 2 , 3)...
>
>
> Eurico
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