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Re: [obm-l] trigonometria
Voce talvez nao tenha entendido a minha colocacao...
A trigonometria acaba ao se descobrir que o produto e
igual a soma. Depois disso, e Teoria dos numeros.
Pondo de outra forma: quantos pontos, de no maximo 10,
voce daria para quem nao resolveu a parte do x+y+z=xyz
mas chegou nas tangentes? Eu nao daria mais que 4.5
--- Jefferson Franca <jeffmaths@yahoo.com.br>
escreveu:
> Obrigado , mas acho que vc não analisou direito esta
> questão e perceba que ela é sim de trigonometria!!!
> Valeu e um abraço
>
> Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> <peterdirichlet2003@yahoo.com.br> escreveu:
> Ue, pelo menos um dos caras nao e maior que 2 ( o
> caso
> do 1 ai escrito, e do 2, que nao e maior ue 2 pois e
> igual...).
> E alias vamos fazer logo isso antes que nao de mais!
>
> Temos 1/xy+1/xz+1/yz=1. Se xy=c, xz=b, yz=a, temos
> 1/a+1/b+1/c=1
> Suponha a>=b>=c. Entao se c>=4, temos
> 1/a+1/b+1/c<=3/4<1, absurdo!
> Logo c<=3
> Ai e so testar!
>
> *c=3
> 1/a+1/b=2/3
> Se b>=4 entao 1/a+1/b <= 2/4 = 1/2 < 2/3, nao da!
> Entao b<=3
> Mas 3=c<=b<=3, o que da b=c=3
> E (a,b,c)=(3,3,3) da certo.
>
> *c=2
> Ai 1/a+1/b=1/2
> E entao b<=4
>
> Testa de novo!
> **b=4
> 1/a=1/4 e ai a=4, (a,b,c)=(4,4,2)
>
> **b=3
> 1/a=1/6
> (a,b,c)=(6,3,2)
>
> **b=2
> 1/a=0. Nao da!
>
> c=1, nao serve!
>
> Ai e so transformar cada a,b,c em x,y,z:
>
> (xy,xz,yz)=(3,3,3) (xyz)^2=27
> (xy,xz,yz)=(4,4,2) (xyz)^2=32
> (xy,xz,yz)=(6,3,2) (xyz)^2=36=6^2
>
>
>
> A primeira nao serve (3 nao e quadrado perfeito).
> A segunda tambem nao...
>
> Ja temos entao xyz=6, e agora sem dificuldade
> comclui-se que a solucao apresentada anteriormente e
> unica (alias e exatamente a solucao que voce achou e
> satisfaz uma porrada de requisitos adicionais...)
>
>
> P.S.: Como eu ja desconfiava este problema nao tem
> nada de trigonometria!
>
> --- Jefferson Franca
> escreveu:
>
> > E se tivermos, por exemplo, X = 3, Y= 2 e Z = 1 ?
> >
> > Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
> >
> escreveu:tg C= tg
> > A + tg B/ 1- tg A. tgB
> > tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B
> > tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C
> >
> > Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que
> > XYZ=X+Y+Z, o problema acaba.
> >
> > Isto e algo facil de resolver, e prova que a
> solucao
> > e
> > mesmo unica.
> > Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos
> um
> > dos caras X,Y,Z e no maximo 2.
> >
> > --- Jefferson Franca
> > escreveu:
> >
> > > Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja.
> > >
> > > caiosg@globo.com escreveu:
> > > Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que
> > 2,
> > > ou seja,
> > > tg A = 2 + x
> > > tg B = 2 + y (x,y >0)
> > >
> > > A + B + C = 180
> > > A + B = 180 -C
> > > tg (A + B ) = - tg C
> > > tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 +
> 2(x+y)
> > > +xy)
> > > = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy)
> > >
> > > tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy)
> > >
> > > Teremos que tg C > 2 <=>
> > > 4 + x + y > 6 + 4x + 4y + 2xy
> > > <=> 2 + 3x + 3y + 2xy<0
> > > Como por hipótese, x e y sao positivos , essa
> soma
> > > nunca é negativa
> > > ou seja, nunca vale que tg C > 2
> > >
> > > ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior
> que
> > 2
> > > (simultaneamente)
> > >
> > >
> > >
> > > Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é
> unica!
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > '>'-- Mensagem Original --
> > > '>'Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700
> > > '>'From: Marcio
> > >
> > > '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > '>'Subject: Re: [obm-l] trigonometria
> > > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > '>'
> > > '>'
> > > '>'On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson
> > > Franca
> > > '>' wrote:
> > > '>'
> > > '>'> Será que alguém já viu esta questão ou tem
> > > alguma idéia de como resolver
> > > '>'
> > > '>'> ?
> > > '>'> Sejam a ,b e c ângulos internos de
> > umtriângulo
> > > e, supondo que as
> > >
> > > '>'> tangentes dos três ângulos sejam números
> > > inteiros e positivos, calcule
> > > '>'
> > > '>'> essas tangentes.
> > > '>'> Valeu
> > > '>'>
> > > '>'>
> > >
> __________________________________________________
> > > '>'> Converse com seus amigos em tempo real com
> o
> > > Yahoo! Messenger
> > > '>'> http://br.download.yahoo.com/messenger/
> > > '>'
> > > '>'
> > > '>'
> > > '>'--
> > > '>'Using Opera's revolutionary e-mail client:
> > > http://www.opera.com/mail/
> > > '>'
> > > '>'Oi, Jefferson.
> > > '>'
> > > '>'Se não errei nada, aqui vai.
> > > '>'
> > > '>'Ângulos: a, b e c
> > > '>'
> > > '>'a + b + c = 180 => tg(a + b + c)= tg 180, ou
> > > seja, tg(a + b + c) = 0
> > > '>'
> > > '>'Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0.
> > > '>'
> > > '>'No final das contas, chega-se a
> > > '>'
> > > '>'tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c)
> > > '>'
> > > '>'Como as tangentes são números inteiros e
> > > positivos, uma opção (não sei
> > > se
> > > '>'
> > > '>'única) é
> > > '>'
> > > '>'tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3
> > > '>'
> > > '>'
> > > '>'[]s,
> > > '>'
> > > '>'Márcio.
> > >
> >
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=== message truncated ===
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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