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Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas



 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300
Assunto: [obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
> Bom dia a todos
>
> Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo
> I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente
> em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero
> reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente
> em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh
> realmente essencial?
 
Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por:
f_n(x) = x + (-1)^n.
Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge.
Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge.
 
Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já
> podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas?
 
Não, conforme o exemplo acima.
 
> Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma
> conclusao interessante, alem de que g eh continua?
>
Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u.
 
> Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao
> Lipschitz, mas nao sei qual eh.
>
Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária.
 
[]s,
Claudio.