Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

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"OBM-l (E-mail)" obm-l@mat.puc-rio.br

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Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300

Assunto:

[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas

> Bom dia a todos

>

> Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo

> I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente

> em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero

> reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente

> em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh

> realmente essencial?

 

Sim. Suponha que f_n: I -> R é dada por:

f_n(x) = x + (-1)^n.

Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 1. No entanto, (f_n) não converge.

Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge.

 

Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já

> podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas?

 

Não, conforme o exemplo acima.

 

> Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma

> conclusao interessante, alem de que g eh continua?

>

Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua ==> f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u.

 

> Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao

> Lipschitz, mas nao sei qual eh.

>

Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária.

 

[]s,

Claudio.