Re: [obm-l] trigonometria

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

tg C= tg A + tg B/ 1- tg A. tgB
tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B
tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C

Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que 
XYZ=X+Y+Z, o problema acaba.

Isto e algo facil de resolver, e prova que a solucao e
mesmo unica.
Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos um
dos caras X,Y,Z e no maximo 2.

--- Jefferson Franca <jeffmaths@yahoo.com.br>
escreveu:

> Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja.
> 
> caiosg@globo.com escreveu:
> Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que 2,
> ou seja,
> tg A = 2 + x
> tg B = 2 + y (x,y >0)
> 
> A + B + C = 180
> A + B = 180 -C 
> tg (A + B ) = - tg C
> tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + 2(x+y)
> +xy)
> = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy)
> 
> tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy)
> 
> Teremos que tg C > 2 <=>
> 4 + x + y > 6 + 4x + 4y + 2xy
> <=> 2 + 3x + 3y + 2xy<0 
> Como por hipótese, x e y sao positivos , essa soma
> nunca é negativa
> ou seja, nunca vale que tg C > 2
> 
> ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior que 2
> (simultaneamente)
> 
> 
> 
> Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é unica!
> 
> 
> 
> 
> 
> '>'-- Mensagem Original --
> '>'Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700
> '>'From: Marcio 
>    
> '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
> '>'Subject: Re: [obm-l] trigonometria
> '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> '>'
> '>'
> '>'On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson
> Franca 
> '>' wrote:
> '>'
> '>'> Será que alguém já viu esta questão ou tem
> alguma idéia de como resolver
> '>' 
> '>'> ?
> '>'> Sejam a ,b e c ângulos internos de umtriângulo
> e, supondo que as 
> 
> '>'> tangentes dos três ângulos sejam números
> inteiros e positivos, calcule
> '>' 
> '>'> essas tangentes.
> '>'> Valeu
> '>'>
> '>'>
> __________________________________________________
> '>'> Converse com seus amigos em tempo real com o
> Yahoo! Messenger
> '>'> http://br.download.yahoo.com/messenger/
> '>'
> '>'
> '>'
> '>'-- 
> '>'Using Opera's revolutionary e-mail client:
> http://www.opera.com/mail/
> '>'
> '>'Oi, Jefferson.
> '>'
> '>'Se não errei nada, aqui vai.
> '>'
> '>'Ângulos: a, b e c
> '>'
> '>'a + b + c = 180 => tg(a + b + c)= tg 180, ou
> seja, tg(a + b + c) = 0
> '>'
> '>'Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0.
> '>'
> '>'No final das contas, chega-se a
> '>'
> '>'tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c)
> '>'
> '>'Como as tangentes são números inteiros e
> positivos, uma opção (não sei
> se
> '>' 
> '>'única) é
> '>'
> '>'tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3
> '>'
> '>'
> '>'[]s,
> '>'
> '>'Márcio.
>
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> '>'Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
>
'>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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