Re: [obm-l] solução natural

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxxxxx>]

--- Júnior <jssouza1@gmail.com> escreveu:

> Prove que a equação 1/x^3 + 1/(x^2)y + 1/xy^2 +
> 1/y^3 =1 não possui solução 
> natural.
> 

x^3y^3=x^3+y^3+x^2y+xy^2

Se d e o MDC de x e y, seja x=du, y=dv.
E facil ver que u e v sao primos entre si.

d^6u^3v^3=d^3(u^3+u^2v+uv^2+u^3)
d^3(u^3v^3)=(u^3+u^2v+uv^2+v^3)

Modulo u,
0=v^3
Logo u divide v^3 e analogamente v divide u^3.
Como u e v sao primos entre si temos u=v=1.
Substituindo,
d^3(u^3v^3)=(u^3+u^2v+uv^2+v^3), ou
d^3=4, que nao tem solucoes inteiras.

P.S.: Sera que isso prova que nao ha solucoes
racionais para isso?


x^3y^3=(x^4-y^4)/(x-y)
x^3y^3(x-y)=x^4-y^4
x^3y^3(x-y)=x^4-y^4



	
	
		
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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