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Re: [obm-l] Exercícios



vc tem que olhar o diagrama, ou entao desenvolver as relaçoes abaixo,
n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A
> união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))

n(A - (B união C))=n(A)-n(A IB)-n(A IC) +n(AIBIC)
 para achar esta formula, basta vc unir B com C ai vc vai ter
basicamente tres areas em comum com A, a AIB, AIC e AIBI, para achar o
numero de elementos de
A-(BUC), vc tira de A o numero de elementos de AIB, repare que quando
vc faz isso, vc tira tambem a intercessao dos 3 conjuntos, depois, vc
tem que tirar tambem a intercessao de A e C, reparando na formula, ja
temos, n(A)-AIB(tiramos a intercessao dos 3 conjuntos)-n(AIC)(tiramos
a intercessao dos 3 conjuntos de novo), sendo assim, vc tem que somar
a intercessao dos 3 conjuntos de novo, dai a formula.

desenvolvendo o restante de formula.
N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))
repare que esta formula e identica ao de baixo, bastando substituir A,
B e C, por
AIB, AIC e BIC

=n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC)
substituindo

N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))

=n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-n((AIB)I(AIC))-n((AIB)I(BIC))-n((AIC)I(BIC))+n((AIB)I(AIC)IBIC)
=n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-3n(AIBIC)+n(AIBIC)=
=n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-2n(AIBIC)

da primeira formula deduzida:

n(A - (B união C))=n(A)-n(A IB)-n(A IC) +n(AIBIC)
n(B-(AUC))=n(B)-n(BIA)-n(BIC)+n(AIBIC)
n(C-(AUB))=n(C)-n(CIA)-n(CIB)+n(AIBIC)

somando as tres equaçoes:
n(A-(BUC))+n(B-(AUC))+n(C-(AUB))=n(A)+n(B)+n(C)-2n(AIB)-2n(BIC)-2n(AIC)+
+3n(AIBIC)     (*********)

lembrando da formula da uniao dos 3 conjuntos e da uniao das
interecessoes tomadas duas a duas:


n(AUBUC)=n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC)
n(AIBUAICUBIC)=n(AIB)+n(AIC)+n(BIC)-2n(AIBIC)
diminuindo essas duas
n(AUBUC)-n(AIBUAICUBIC)=n(A) +n(B)+n(C)-2n(AIB)-2n(A IC)-2n*(BIC)+3n(AIBIC)

logo, substituindo em (********)
n(AUBUC)-n(AIBUAICUBIC)=n(A-(BUC))+n(B-(AUC))+n(C-(AUB))

que e a formula pedida, abraço, saulo.





 8/14/05, admath <admath05@yahoo.com.br> wrote:
> Já tentei a partir desta relação chegar em:
>  
> n(A união B união C) = n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A
> união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))
> Só que não consegui...como faço?
> Obrigado.
> saulo nilson <saulo.nilson@gmail.com> escreveu:
> no vestibular e mais rapido vc fazer o diagrama de venn, a nao ser que
> vc tenha a formula decorada
> 
> n(A união B união C)=n((AuB)uC)
> lembrando que n*(AuB)=n(A)+n(B)-n(A I B)
> I = intercessao
> entao teremos que :
> n((AuB)uC) = n(AuB)+n(C)-n(AUB I C )=
> =
> 
> =n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)-n(A I C U BIC)=
> =n(A)+n(B) -n(AIB)+n(C)- n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC)
> agrupando os termos:
> 
> =n(A) +n(B)+n(C)-n(AIB)-n(A IC)-n*(BIC)+n(AIBIC)
> 
> trabalhando um pouco mais vc chega ao resultado final, olhando o
> diagrama o resultado e imediato.
> 
> 
> On 8/13/05, admath wrote:
> > Saulo, obrigado pela ajuda.
> > 
> > A primeira eu entendi..só que na segunda, tem alguma maneira de demonstrar
> > sem utilizar Diagrama de Venn?
> > No vestibular posso utilizar este diagrama pra demontrar?
> > 
> > Obrigado.
> >! 
> > saulo nilson escreveu:
> 
> > 1-
> > A = numero de alunos que tem pais professores n(A) = n-120
> > B = numero de alunos que tem mae professor n(B) = n-130
> > Aintercessao com B = mae e pai professor , n(AinterB)=5
> > 
> > Auniao com B = soma do numero de alunos que possuem um pai ou uma mae
> > professores ou os dois.
> > n(AuniaoB)= n(A)+n(B)-n(AinterB)
> > 
> > 55 = n-120 +n-130-5
> > 2n = 310
> > n= 155
> > 
> > 2-
> > n(A - (B união C)) = 15
> > n(B- (A união C)) = 20
> > n(C-(A união B)) =35
> > n(A união B união C) = 120
> > N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))
> > U =uniao
> > I= intercessao
> > 
> > Se vc fizer o diagrama de Venn, vc vai ver que:
> > 
> > n(A união B união C)= n(A - (B união C))+n(B- (A união C))+n(C-(A
> > união B))+ N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))
> > 120=15+20+35+ N((A inter B) união ! (A inter C) união (B inter C))
> > 
> > N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C))=50
> > O dado estranho e erro de impressao
> > 
> > 
> > On 8/11/05, admath wrote:
> > > 
> > > 
> > > 1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor, 130
> não
> > > tem mãe professora e 5 tem mãe e pai professores. Qual o número de
> alunos
> > do
> > > colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais
> professor
> > e
> > > que não existem alunos irmãos?
> > > 
> > > Resp: 155
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 2) Se A, B e C são conjuntos tais que n(A - (B união C)) = 15, n(B-A (A
> > > união C)) = 20, n(C-(A união B)) =35 e n(A união B união C) = 120,
> então,
> > > N((A inter B) união (A inter C) união (B inter C)) é igual a quanto?
> > > 
> > > 
> > > 
> > > Resp: 50 ....esse exercício é do livro do iezzi (volume ! 1)..esse dado:
> > > 
> > > n(B-A (A união C)) = 20 não está estranho?
> > > 
> > > 
> > > 
> > > Obrigado.
>  
> 
> 
> 
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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