RE: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma

[kleinad2@xxxxxxxxx]

Mais legal ainda: se K é o corpo dos números algébricos, portanto enumerável,
então a construção abaixo (trocando-se Q por K) dá um conjunto não-enumerável
de transcendentes fechado para a soma, não?

[]s,
Daniel

 '>'-- Mensagem Original --
 '>'Date: Thu, 11 Aug 2005 21:28:31 -0300
 '>'From: kleinad2@globo.com
 '>'Subject: RE: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa
soma
 '>'To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 '>'
 '>'
 '>' '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
fechado
 '>' '>'com relacao aa soma
 '>'
 '>'Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
(racionais),
 '>'então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável sobre Q,
e,
 '>'portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre
Q
 '>'é não-enumerável.
 '>'
 '>'Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}. Observe
que
 '>'o subespaço S(B) gerado por B sobre Q contém 0 como único racional.
Ainda,
 '>'se b_1, ..., b_n estão em B e a_1, ..., a_n estão em Q, então -(a_1*b_1
 '>'+ ... + a_n*b_n) pode ser escrito como (-a_1)*b_1 + ... + (-a_n)*b_n,
logo,
 '>'se por exemplo restringirmos os a_i a serem todos positivos, obtemos
um
 '>'subconjunto J de S(B) que é claramente fechado pra soma e onde ninguém
tem
 '>'inverso aditivo, logo, J não contém 0 e portanto nenhum racional.
 '>'
 '>'Como B está contido em J, temos de cara que J é não-enumerável.
 '>'
 '>'Acho q é isso.
 '>'
 '>'[]s,
 '>'Daniel
 '>'
 '>'
 '>'
 '>'
 '>'=========================================================================
 '>'Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 '>'http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 '>'=========================================================================



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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