RE: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma

[kleinad2@xxxxxxxxx]

 '>'Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja fechado
 '>'com relacao aa soma

Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q (racionais),
então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável sobre Q, e,
portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
é não-enumerável.

Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}. Observe que
o subespaço S(B) gerado por B sobre Q contém 0 como único racional. Ainda,
se b_1, ..., b_n estão em B e a_1, ..., a_n estão em Q, então -(a_1*b_1
+ ... + a_n*b_n) pode ser escrito como (-a_1)*b_1 + ... + (-a_n)*b_n, logo,
se por exemplo restringirmos os a_i a serem todos positivos, obtemos um
subconjunto J de S(B) que é claramente fechado pra soma e onde ninguém tem
inverso aditivo, logo, J não contém 0 e portanto nenhum racional.

Como B está contido em J, temos de cara que J é não-enumerável.

Acho q é isso.

[]s,
Daniel




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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