[obm-l] limite de uma sequencia

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Eu encontrei o problema de determinar o limite da
sequencia de reais dada por:

x(1) = a, x(2) = b, x(n) = (p1*x(n-2) + p2*x(n-1))/(p1
+ p2) para n>=3, com p1, p2 >0. Assim, a partir de n
=3, cada termo da seq. eh a media ponderada dos 2
termos anteriores com relacao aos pesos p1 e p2. 

Eu cheguei a uma solucao, mas com um processo um tanto
trabalhoso. Inicialmente, nao eh dificil mostrar que,
para a=0 e b =1, x_n eh uma sequencia de Cauchy, logo
convergente. Para isto, verificamos que, |x(n) -
x(n-1)| <= (max(p1,p2)/(p1 + p2))^(n-2) para n>=2. Com
alguma algebra, levando em conta o limite de series
geometricas de razao <1, podemos mostrar que x(n) e'
uma seq. de Cauchy.

Depois, verificamos por inducao, num processo
algebrico um tanto trabalhoso, que a subsequencia x(2n
+1 ) e' uma serie geometrica de razao < 1. Logo esta
serie converge para o limite de x(n). Definindo-se r =
p2/(p1 + p2) e s =  p1/(p1 + p2), concluimos que, se
a=0 e b=1, entao x(n) --> L(0,1) = r/(1 - s^2). E aih
eh facil concluir que, para quaisquer a e b, x(n) -->
L(a,b) = (b-a)L(0,1) + a.

Eu creio que hah um processo simples para chegarmos ao
limite, mas nao consegui ver. Uma saida natural seria
observando que, sendo L o limite, entao L tem que
satisfazer a L = (p1*L + p2*L)/(p1 + p2), mas isto nos
leva a que L = L e nao agrega qualquer informacao. 

Se em vez da media ponderada dos 2 termos anteriores
tivessemos a dos k termos anteriores, entao o processo
que achei levaria a um trabalho algebrico realmente
insano.   

Artur


		
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