[obm-l] Espaço Vetorial

[Cca <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Conforme lembrou Bernardo Freitas, a demonstração de que um espaço vetorial possui uma base é normalmente feita utilizando-se uma forma equivalente do Axioma da Escolha (AE). Eis alguns fatos relacionados que talvez sejam pouco conhecidos:

(1) A demonstração de que AE ==> Teorema da Base remonta a um argumento do matemático alemão Georg Hamel, que em 1905 provou, utilizando efetivamente o AE (e não sua versão maximal à la Mr. Zorn), a existência de uma base para IR como Q-espaço vetorial. Uma década depois o resultado seria generalizado por Hausdorff (que de certa forma antecipou Zorn no uso habilidoso de "Princípios Extremais" na teoria dos conjuntos).

(2) Como estudioso de Lógica Matemática, sempre me perguntava: seria possível provar o Teorema da Base SEM o Axioma da Escolha? Dada a natureza visivelmente não-construtiva da existência de uma base em geral, eu suspeitava que não, não seria possível --  até o dia em que tomei conhecimento de que Andreas Blass (http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/) havia provado a recíproca na década de 1980. Portanto, o AE não é apenas suficiente, mas NECESSÁRIO para garantir a existência de bases de espaços vetoriais.



Carlos César de Araújo
Gregos & Troianos Educacional
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG, Brasil

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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