[obm-l] Espa�o Vetorial

[Cca <cca@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Conforme lembrou Bernardo Freitas, a demonstra��o de que um espa�o vetorial possui uma base � normalmente feita utilizando-se uma forma equivalente do Axioma da Escolha (AE). Eis alguns fatos relacionados que talvez sejam pouco conhecidos:

(1) A demonstra��o de que AE ==> Teorema da Base remonta a um argumento do matem�tico alem�o Georg Hamel, que em 1905 provou, utilizando efetivamente o AE (e n�o sua vers�o maximal � la Mr. Zorn), a exist�ncia de uma base para IR como Q-espa�o vetorial. Uma d�cada depois o resultado seria generalizado por Hausdorff (que de certa forma antecipou Zorn no uso habilidoso de "Princ�pios Extremais" na teoria dos conjuntos).

(2) Como estudioso de L�gica Matem�tica, sempre me perguntava: seria poss�vel provar o Teorema da Base SEM o Axioma da Escolha? Dada a natureza visivelmente n�o-construtiva da exist�ncia de uma base em geral, eu suspeitava que n�o, n�o seria poss�vel --  at� o dia em que tomei conhecimento de que Andreas Blass (http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/) havia provado a rec�proca na d�cada de 1980. Portanto, o AE n�o � apenas suficiente, mas NECESS�RIO para garantir a exist�ncia de bases de espa�os vetoriais.



Carlos C�sar de Ara�jo
Gregos & Troianos Educacional
www.gregosetroianos.mat.br
Belo Horizonte, MG, Brasil

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