Re: [obm-l] Sucessão

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Para obtermos uma estimativa melhoer, vamos elevar o
termo geral ao quadrado, obtendo x(n+1)^2 = x(n)^2 +
1/(x(n))^2 + 2. Por recorrencia, obtemos x(n+1)^2 =
x(1)^2 + 2n + Soma(i=1,n)1/(x(i))^2.

Como x1 =10 >0, temos que x(2) = 11>0. Por inducao,
verificamos facilmente que x(n) > 0 para todo n e que
x(n) eh estritamente crescente. A equacao de
recorrencia que deduzimos leva-nos entao aa seguinte
estimativa 
x(1)^2 + 2n < x(n+1)^2 < x(1)^2 + 2n + n/x(1)^2.

Fazendo-se n = 2004, obtemos 4108 < x(2005)^2 <
4128,04. Extraindo-se as raizes quadradas, chegamos a
que 64.09368144 < x(2005) < 64.2498249. O nosso limite
superior eh assim bem mais preciso do que o sugerido.

Utilizando uma planilha Excel, cheguei a 64.10819321,
valor mais proximo do limite inferior. Serah que isso
acontece sempre? Nao analisei.

Achei o problerma interessante. Uma sugestao: mostre
que x(n) eh divergente.

Artur







--- Eduardo Wilner <eduardowilner@yahoo.com.br> wrote:

> 
>  Nao eh um grande sucesso mas pode ser um bom
> exercicio.
> 
>  Seja a sequencia x(n+1) = x(n)+1/x(n) n E N ,
> a(1)=10.
> 
>  Demonstrar que x(2005) estah entre 64 e 79.
> 
>  []s
> 
> Wilner 
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