Re: [obm-l] Sucessão

[Marcos Martinelli <mffmartinelli@xxxxxxxxx>]

a(k+1)=a(k)+1/a(k) -> a(k+1)^2=a(k)^2+1/[a(k)^2]+2 ->
1/[a(k)^2]=a(k+1)^2-a(k)^2-2.
E agora calculemos a seguinte soma: somatório(1<=k<=2004){1/[a(k)^2]}=
=somatório(1<=k<=2004){a(k+1)^2-a(k)^2-2}=a(2005)^2-a(1)^2-2004*2=
=a(2005)^2-4108 ->a(2005)^2=4108+somatório(1<=k<=2004){1/[a(k)^2]}.
Mas observe que se a(k+1)=a(k)+1/a(k) -> a(k+1)/a(k)=1+1/[a(k)^2] e assim
somatório(1<=k<=2004){1/[a(k)^2]}=somatório(1<=k<=2004){a(k+1)/[a(k)]-1} ->
a(2005)^2=4108+somatório(1<=k<=2004){a(k+1)/[a(k)]-1}->
a(2005)^2=4108+somatório(1<=k<=2004){a(k+1)/[a(k)]}-2004->
a(2005)^2=2104+somatório(1<=k<=2004){a(k+1)/[a(k)]}. E para finalizar,
notemos que a(k+1)/[a(k)]>1 pois a(k+1)>a(k)>10 e a(k)^2>100 ->
1/[a(k)^2]<1/100. Logo
a(k+1)/[a(k)]=1+1/[a(k)^2]<1+1/100=101/100. Logo temos:
.a(2005)^2>2104+2004=4108>4096 e assim a(2005)>64.
.a(2005)^2<2104+2004*101/100=4128.04<4225=65^2 e assim a(2005)<65<79.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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