Re: [obm-l] Sucessão

[Marcos Martinelli <mffmartinelli@xxxxxxxxx>]

a(k+1)=a(k)+1/a(k) -> a(k+1)^2=a(k)^2+1/[a(k)^2]+2 ->
1/[a(k)^2]=a(k+1)^2-a(k)^2-2.
E agora calculemos a seguinte soma: somatório(1<=k<=n){1/[a(k)^2]}=
=somatório(1<=k<=n){a(k+1)^2-a(k)^2-2}=a(n+1)^2-a(1)^2-2*n=
a(n+1)^2-2*n-100  -> a(n+1)^2=2*n+100+somatório(1<=k<=2004){1/[a(k)^2]}.
Mas observe que se a(k+1)=a(k)+1/a(k) -> a(k+1)/a(k)=1+1/[a(k)^2] e assim
somatório(1<=k<=n){1/[a(k)^2]}=somatório(1<=k<=n){a(k+1)/[a(k)]-1} ->
a(n+1)^2=2*n+100+somatório(1<=k<=n){a(k+1)/[a(k)]-1}->
a(n+1)^2=2*n+100+somatório(1<=k<=n){a(k+1)/[a(k)]}-n->
a(n+1)^2=n+100+somatório(1<=k<=2004){a(k+1)/[a(k)]}.
E para finalizar,
notemos que a(k+1)/[a(k)]>1 pois a(k+1)>a(k)
a(n+1)^2>2*n+100 -> 1/a(n)^2<1/(2*n+98) e entao  
a(k+1)/a(k)=1+1/[a(k)^2]<1+1/(2*k+98)->
a(n+1)^2<2*n+100+somatório(1<=k<=n){1/(2*k+98)}.E finalmente observe que 
a(n+1)^2/2*n>1+100/2*n e que
a(n+1)^2/2*n<1+100/2*n+somatório(1<=k<=n){1/(2*k+98)}/2*n.
Mas como somatório(1<=k<=n){1/(2*k+98)} pode ser aproximado atrvaves
de f(x)=1/x por baixo e acaba equivalendo a ln(2*n+98), que dividido
por 2n tende para zero, acaba-se mostrando que lim a(n)/sqrt(2n)=1.
E isso mostra que pode ser generalizado mesmo e que a(n) e divergente.
Minha pergunta e sera que existe alguma formula fechada que expresse
a(n). Acredito que nao... Alias sobre recorrencias nao-lineares existe
algum tipo de material com teoremas. Algumas eu consigo encontrar uma
formula fechada porem a maioria e muito obscura. Alias, Steiner aquele
problema de trigonometria vc conseguiu fazer a segunda parte que
propus. Ateh hj n a fiz pois como tinha dito havia caido numa soma que
n consigo resolver de jeito nenhum. Obrigado!

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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