Re: [obm-l] Uma legal de Trigonometria!

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

Hmm... para o primeiro, que tal tentarmos o seguinte:

Vamos tentar encontrar funções f, g tais que, para
todo k inteiro,
  f(k)/g(k) - f(k+1)/g(k+1) = 1/sen(2^k*a) (*)

Isso induziria uma soma telescópica:
  soma(1/sen(2^k*a)) = f(0)/g(0) - f(n+1)/g(n+1)

Vejamos (*):
(*) <=> [f(k)g(k+1) - f(k+1)g(k)]/[g(k)g(k+1)] 
       = 1/sen(2^k*a) (**)

f(k)g(k+1) - f(k+1)g(k) tem cara de sen(a-b)... então
vamos tentar g(k) = sen(u(k)) e f(k) = cos(u(k)). Aí,
   f(k)g(k+1) - f(k+1)g(k)
 = cos(u(k))sen(u(k+1)) - cos(u(k+1))sen(u(k))
 = sen(u(k+1)-u(k)).

Logo
(**) <=> sen(u(k+1)-u(k))/[sen(u(k))sen(u(k+1))]
        = sen(2^(k-1)a)/[sen(2^(k-1)a)sen(2^ka)]

Note que u(k) = 2^(k-1)a satisfaz (**).

Então f(k) = cos(2^(k-1)a), g(k) = sen(2^(k-1)a) e a
soma desejada é
  f(0)/g(0) - f(n+1)/g(n+1)
= cotg(a/2) - cotg(a*2^n).

Certo? Espero não ter errado nenhuma conta...

Eu penso no segundo depois...

[]'s
Shine

--- Marcos Martinelli <mffmartinelli@gmail.com> wrote:

> Olá pessoal da lista! Achei essa questão bastante
> interessante e creio
> que possa fornecer uma boa discussão!
> 
> Calcular SOMATÓRIO [1/sen((2^k)*a)] para 0<=k<=n.
> Suponha que 
> sen((2^k)*a)<>0 para todo 0<=k<=n.
> Proponho uma solução que não use indução.
> 
> E pergunto se é possível calcular o seguinte
> somatório 
> SOMATÓRIO [sen((2^k)*a)] para 0<=k<=n. 
> 
> Vou esboçar minha solução pro primeiro problema.
> 
> Seja Un(x) o polinômio de Chebyschev de segunda
> classe tal que
> sen(na)=sen(a)*U(n-1)(cosa). Pode-se mostrar que
> este polinômio é tal
> que U0(x)=0 e que U1(x)=2x e
> U(n+2)(x)=2x*U(n+1)(x)-Un(x). Resolvendo
> esta recorrência, temos para x<>+-1
> U(n-1)(x)=(q2^n-q1^n)/(2*sqrt(x^2-1)), onde
> q2=(x+sqrt(x^2-1) e
> q1*q2=1. Sendo assim:
> SOMATÓRIO
> [1/sen((2^k)*a)]=2i*SOMATÓRIO[1/(q2^(2^k)-q1^(2^k)],
> para
> todo k inteiro tal que 0<=k<=n (i é a unidade
> imaginária). E agora
> basta resolver este novo somatório, que cai depois
> de uma mudança
> acaba virando uma pg.
> 
> Eu consegui fazer este problema depois que li um
> artigo sobre
> polinômios de Chebyshev, e pensei que conseguiria
> resolver o segundo
> problema, mas acabo caindo num somatorio que não
> consigo resolver.
> Peço a ajuda de vocês então. E se alguém fez de
> outro jeito o
> primeiro, por favor poste aqui para eu ver, pois
> tentei bastante fazer
> por outro método, que não utilizasse uma indução
> meio louca pra forçar
> a resposta. Obrigado!
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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