[obm-l] Uma legal de Trigonometria!

[Marcos Martinelli <mffmartinelli@xxxxxxxxx>]

Olá pessoal da lista! Achei essa questão bastante interessante e creio
que possa fornecer uma boa discussão!

Calcular SOMATÓRIO [1/sen((2^k)*a)] para 0<=k<=n. Suponha que 
sen((2^k)*a)<>0 para todo 0<=k<=n.
Proponho uma solução que não use indução.

E pergunto se é possível calcular o seguinte somatório 
SOMATÓRIO [sen((2^k)*a)] para 0<=k<=n. 

Vou esboçar minha solução pro primeiro problema.

Seja Un(x) o polinômio de Chebyschev de segunda classe tal que
sen(na)=sen(a)*U(n-1)(cosa). Pode-se mostrar que este polinômio é tal
que U0(x)=0 e que U1(x)=2x e U(n+2)(x)=2x*U(n+1)(x)-Un(x). Resolvendo
esta recorrência, temos para x<>+-1
U(n-1)(x)=(q2^n-q1^n)/(2*sqrt(x^2-1)), onde q2=(x+sqrt(x^2-1) e
q1*q2=1. Sendo assim:
SOMATÓRIO [1/sen((2^k)*a)]=2i*SOMATÓRIO[1/(q2^(2^k)-q1^(2^k)], para
todo k inteiro tal que 0<=k<=n (i é a unidade imaginária). E agora
basta resolver este novo somatório, que cai depois de uma mudança
acaba virando uma pg.

Eu consegui fazer este problema depois que li um artigo sobre
polinômios de Chebyshev, e pensei que conseguiria resolver o segundo
problema, mas acabo caindo num somatorio que não consigo resolver.
Peço a ajuda de vocês então. E se alguém fez de outro jeito o
primeiro, por favor poste aqui para eu ver, pois tentei bastante fazer
por outro método, que não utilizasse uma indução meio louca pra forçar
a resposta. Obrigado!

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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