Re: [obm-l] Mais uma de funções

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Bruno,

Vc estah com um aideia certa. A condicao ii)
f([x+y]/2) > [f(x) + f(y)]/2, para todo x != y implica
que f seja concava (-f eh convexa) e isto,
sabidamente, implica continuidade. Mas nao implica
diferenciabilidade, nem mesmo a existencia da primeira
derivada. Entretanto, ainda assim a conclusao eh
verdadeira. Para ver isso, dou as seguntes sugestoes:

1) mostre que a funcao g(x) = f(x+1) - f(x) eh
monotonicamente decrescente. Isto eh uma simples
consequencia da concavidade de f.

2) Considere a sequencia f(n). Entao, atraves de uma
soma telescopica temos que f(n) = f(1) + g(1) +...g(n)
< f(1) - n*g(1). Como g(1) <0, temos que f(n) -> -oo
quando n-> oo, de modo que f assume valores negativos.

Artur
  

--- Bruno França dos Reis <bfreis@gmail.com> wrote:

> Olá
> Acabo de ler a mensagem do Caio e a resposta do
> Shine na mensagem com 
> assunto "Quest. de Função - URGENTE, por favor
> ajudem", o que me lembrou uma 
> questão (ao meu ver, mais simples que aquela) com a
> qual eu brincava há um 
> tempo. Desculpem, mas não tenho o enunciado preciso.
> Eis a questão:
> 
> A função f: R -> R possui as seguintes propriedades:
> 
> (i) x < y ==> f(y) < f(x)
> (ii) f([x+y]/2) > [f(x) + f(y)]/2, para todo x != y
> 
> Mostre que existe c tal que f(c) < 0.
> 
> 
> Resolvi a questão por 2 métodos diferentes (não vou
> postá-los, pelos menos 
> por enquanto, para quem quiser tentar), mas ainda
> não me senti satisfeito.
> 
> Intuitivamente eu imagino que f seja contínua tenha
> concavidade para baixo, 
> i.e., o gráfico de f está abaixo de qualquer reta
> tangente ao gráfico. 
> Pensei então em tentar provar isso, mostrando a
> continuidade de f, a 
> derivabilidade de f até 2a. ordem e então mostrar
> que a derivada 2a. é 
> negativa. Como alguns podem estar pensando, esse
> método para a resolução, se 
> é que é possível, é muito trabalhoso e complicado...
> e daí?? :-)
> 
> Bom, se alguém puder me dizer se é possível seguir
> esse caminho e me 
> fornecer dicas de como fazê-lo, ou então mostrar que
> não é possível resolver 
> dessa forma (seja lá pelo motivo que for, i.e., f
> não necessariamente é 
> contínua, ou derivável, ou etc.), ficarei grato!
> 
> Abraço
> Bruno
> 
> -- 
> Bruno França dos Reis
> email: bfreis - gmail.com <http://gmail.com>
> gpg-key:
>
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
> icq: 12626000
> 
> e^(pi*i)+1=0
> 



		
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