Re: [obm-l] Medida

[Tertuliano <tertuca@xxxxxxxxxxxx>]

Artur, nao compreendi o caso em q B=Rm, pois nao faco
ideia do q seja a tal sigma aditividade. O caso em q B
eh limitado eu entendi. Estou comecando a estudar os
conjuntos de medida nula agora e, portanto, soh
conheco a definicao. 

Tertuliano


--- Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com>
escreveu:

> Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um
> paralelepipedo limitado e aberto de R^m de
> hipervolume
> V. Como A tem medida nula, para todo eps>0 podemos
> cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de
> paralelepipedos abertos e limitados, cada um com
> hipervolume V_k, tal que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos
> entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A
> X
> P por paralelepipedos abertos de R^(m+n). O
> hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V
> =
> V *  Soma(k>=1)V_k < V * eps/V = eps. Como eps eh
> arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula.
> 
> Considerando-se que subconjuntos mensuraveis de
> conjuntos nulos sao tambem nulos, a conclusao
> anterior
> pode ser extendida para o caso em que B eh um
> conjunto
> limitado, pois neste caso B esta contido em um
> paralelepipedo aberto e limitado.
> 
> O conjunto R^m pode ser dado pela uniao de uma
> colecao
> enumeravel e disjunta {Q_k} de paralelepipedos
> limitados de hipervolume 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma
> cobertura disjunta de A X R^m. Como A tem medida
> nula
> e cada Q_k eh limitado, a conclusao anterior nos
> mostra que cada A X Q_k tem medida nula.
> Invocando-se
> agora a sigma-aditividade da medida, concluimos que
> A
> X R^m tem medida nula. E valendo esta conclusao para
> o
> caso B = R^m, segue-se que vale automaticamente para
> qualque subconjunto B de R^m.
> 
> Estah certo?
> 
> Artur 
> 
> 
> --- Tertuliano <tertuca@yahoo.com.br> wrote:
> 
> > Oi para todos!
> > Alguem pode me ajudar neste?
> > 
> > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm
> um
> > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula.
> > 
> > Grato,
> > Tertuliano
> > 
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