Re: [obm-l] sistemas dinamicos

[Fabio Niski <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Claudio como a sua desigualdade nao é estrita acho que podemos apenas 
afirmar que é estavel e nao assintoticamente estavel.
Agora eu fiquei realmente na duvida pq vc pegou a apresentou
V(x,y) = x^2 + y^2
e a estabilidade foi estavel

e eu apresentei
V(x,y) = by^2
e a estabilidade foi assintoticamente estavel.


Agora eu nao sei mais como decidir.

Estou usando este teorema:

Seja y0 um ponto de equilibrio do sistema de eq. dif
Sejam U C M aberto tal que y0 pert U e V : U -> R de classe C^1.
Suponha que V satisfaz
i) V(y) > V(y0) qq y pert U, y =! y0,
ii) V'(y) := Jacobiano[V(y)].F(y) < 0, qq y pert U, y =! y0
Entao y0 é assintoticamente estavel segundo Liapunov



claudio.buffara wrote:

>  
> De: 	owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para: 	"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia: 	
> 
> Data: 	Tue, 28 Jun 2005 11:58:23 -0300
> 
> Assunto: 	[obm-l] sistemas dinamicos
> 
>  > Olá pessoal, estou estudando aspectos basicos de sistemas dinamicos 
> em um curso de eq. diferenciais que estou
>  > fazendo.
>  > Por falta de referencias aqui em casa estou com uma duvida 
> aparentemente boboca e esta dificil achar alguma
>  > resposta pelo google.
>  > Bom, é pedido para se estudar a estabilidade do equilibrio (0,0) do 
> sistema
>  > x' = y - x*f(x,y)
>  > y' = -x - y*f(x,y)
>  > onde f é C infinito, f(0,0) = 0, e f >= 0 numa vizinhanca da origem.
>  >
>  > Bom, começei inocentemente analisando o sistema linearizado, porem 
> como os autovalores resultantes são
>  > imaginarios puros nao podemos concluir com certeza nada.
>  >
>  > Fui então em busca de uma funcao de Liapunov.
>  > Chutei V(x,y) = a*x^2 + b*y^2 com a e b ambos nao nulos.
>  > Bom, fazendo as continhas
>  > V' = 2a(xy - f(x,y)*x^2) - 2b(xy + f(x,y)*y^2)
>  > Agora a conclusao:
>  > Como f >= 0 numa vizinhanca da origem, para x e y positivos e 
> suficientemente pequenos (ou proximos da origem),
>  > basta tomar a= 0 e b > 0 e com isso
>  > V' = -2b(xy + f(x,y)*y^2) < 0, pq qq x,y nesta vizinhança.
>  > logo, a origem é assintoticamente estavel segundo liapunov.
>  >
>  > Gostaria de saber se esta abordagem esta correta já que fiz às cegas, 
> não tenho nenhum exemplo resolvido por
>  > perto para dar uma sapiada.
>  >
>  > Tambem pergunto onde entra a hipotese que f(0,0) = 0. Para a 
> linearizacao ela é até util mas nao vi motivo para
>  > usa-la no uso de funcoes auxiliares.
>  >
>  > Obrigado
>  >
>  > Niski
>  >
> Oi, Niski:
>  
> Eu não manjo nada de sistemas dinâmicos, mas vou dar um pitaco mesmo 
> assim...
>  
> Minha idéia é ver o que acontece com U = x^2 + y^2 = quadrado da 
> distância à origem a medida que o tempo passa, para (x,y) 
> suficientemente próximo da origem (de modo que f(x,y) >= 0).
>  
> dU/dt = 2xx' + 2yy' = 2xy - 2x^2f(x,y) - 2xy - 2y^2f(x,y) =
> -2(x^2+y^2)f(x,y) <= 0, pois f(x,y) >= 0.
>  
> Assim, concluímos que dU/dt <= 0, ou seja, o sistema não se afasta da 
> origem e pode realmente se aproximar quando f(x,y) > 0.
>  
> É isso que se chama de sistema assintóticamente estável?
>  
> []s,
> Claudio.
>  

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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