Re:[obm-l] Aplicacao do Teorema Chines

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Oi Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Quanto falei "metodos elementares" estava pensando "ate Teoria de Galois", 
pois é para esta teoria que convergem quase todos os conceitos que estudamos 
em Algebra e que a precedem a apresentacao da Teoria de Galois. Ela é como 
um ponto de aglutinacao, a partir do qual o que nao e elementar nasce.

O problema e verdadeiramente simples, senao eu nao teria colocado nos termos 
que coloquei. Vou dar uma ideia e voce, preenchendo os detalhes ( por favor 
), vai ver isso :

Seja G de ordem 255. Dado que 255=3*5*17, e facil mostrar - usando o 3 
teorema de Sylow - que ha apenas um 17subgrupo de Sylow. Logo ele e normal. 
Chame ele de H. Tome um 3subgrupo de Sylow E e um 5subgrupo de Sylow F.

Claramente que HE e subgrupo. Aplique Sylow aqui e mostre que E e unico em 
HE. Logo E e normal em HE. Usando o fato que o normalizador de E e o maior 
subgrupo no qual E e normal e que o indice do normalizador e o total de 
3subgrupos, conclua que E e unico em G. Mesmo raciocinio para F. Segue que 
existem pois apenas 1 3subgrupo de Sylow, 1 5subrupo de Sylow e 1 17subgrupo 
de Sylow. Dado que 3,5 e 17 sao primos, todos eles sao ciclicos e isomorfos 
respectivamente a (Z/3Z), (Z/5Z) e (Z/17Z). Assim, G e o produto direto 
(Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z), pois o grupo e o produto direto dos seus p-subrupos 
de Sylow.

Agora, pelo Teorema Chines dos Restos ( pois 3, 5 e 17 sao dois a dois 
primos entre si ) :
(Z/3Z)*(Z/5Z)*(Z/17Z) isomorfo a (Z/3*5*17Z). Assim, G e isomorfo a 
(Z/3*5*17Z)=(Z/255Z). E acabou.

Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,0832,010605


>From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re:[obm-l] Aplicacao do Teorema Chines
>Date: Wed,  1 Jun 2005 01:47:26 -0300
>Data:Tue, 31 May 2005 11:07:40 +0000
>
>Oi, Paulo:
>
>Como é que se prova isso usando apenas resultados elementares (ou seja, sem 
>usar os teoremas de Sylow ou algo equivalente)?
>
>Mesmo a demonstração de que existe um único grupo de ordem 15 fica muito 
>complicada se formos usar apenas métodos elementares.
>
>[]s,
>Claudio.

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