Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 14.05.05 08:43, Ronaldo Luiz Alonso at ronaldo.luiz.alonso@bol.com.br
wrote:

>> Ol�... como v�o..
>> 
>> Primeiramente obrigado pelas respostas relacionadas as quest�es anterires
>> sobre cosseno.
>> 
>> Estou com duas curiosidades. ( por gentileza, se puderem me respondam!)
>> 1)Se um n�mero n�o � raiz de nenhum polinomio esse n�mero � chamado de
>> transcedente.( est� correto?) Ent�o como eu provo que um n�mero � ou n�o �
> 
> At� onde eu sei est�.
> 
Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.

>> trancedente a partir deste raciocinio, ou de outro? ( n�o consegui
> enguergar
>> nenhuma saida!)
> 
> Lioville provou que pi era um n�mero transcendente mostrando que *se*
> ele era raiz
> de um polin�mio, esse polin�mio tinha que ter grau *infinito*.  Para ver a
> prova de Lioville
> consulte um bom livro de �lgebra.
>
Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram senos,
cossenos, derivadas e integrais.
 
>> 
>> 2)Gauss afirmou que um polinomio de grau n possue n ra�zes!De onde esse
> cara
>> tirou isso???????
> 
> Dah uma olhada no livo de Alcides Lins Neto do IMPA - An�lise
> Complexa.
> Nas primeiras 10 p�ginas voc� ir� entender o que s�o as n ra�zes de um
> n�mero complexo:
> S�o v�rtices de um pol�gono regular com n lados inscrito na
> circunfer�ncia cujo raio
> � a raiz do m�dulo do n�mero complexo no plano complexo.
> Simplificadamente isso ocorre porque todo n�mero complexo z pode
> ser escrito
> como z = |z| e^{i t) = |z|(cos p + i sen p) ==>
> z^{1/n} =  |z|^{1/n} (cos p + i sen p)^{1/n} ==>
> z^{1/n} =  |z|^{1/n} (cos ( p+2k*pi)/n + i sen ( p+k*pi)/n )
> 
> veja que cos (p + 2*k*pi) = cos p, para todo k \in Z
> e por isso ao dividir por n temo cos(p) por  n devemos na realidade
> dividir
> cos (p+2*k*pi)  por n.
> Para ver isso note que cos p + i sen p = e^{ip} tem m�dulo 1
> e que (simplificadamente)
> e^{ip/n} = cos (p/n) + i sen (p/n).   Agora voltando � linha
> de cima...
> 
> []s  Ronaldo L. Alonso
> 
>
O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
repetidas).

[]s,
Claudio.

>> Perguntei aos meus professores e eles disseram que �ssa foi a tese de
>> doutorado dele, logo � muito complexa para entender. Mas mesmo assim
> queria
>> pelo menos uma "luz" de onde ele comessou essa tese.!!!!!!!
>> 
>> M�tissimo obrigado.
>> 
>> Filipe Louly Quinan Junqueira
>> 


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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