Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.

["Ronaldo Luiz Alonso" <ronaldo.luiz.alonso@xxxxxxxxxx>]

>Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado
>qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a.
>Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh
>chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes.

      Oi Cláudio.  Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0.
      Delta = 10 - 4.1.2 = 2
      x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2
      Posso dizer que x_1 é transcendente?
         Aliás sempre tive essa dúvida.
     Certamente o fato dos coeficientes do polinômio serem racionais é o
mesmo que o
     os coeficientes do polinômio serem inteiros ==>  tomamos o m.m.c das
frações
      e multiplicamos.  Mas então o que dizer deste caso que citei?  O x_1
parece
      ser mais ou menos "bem comportado".
          Não é um número como "e" ou número "pi" que são "meio estranhos".
       Aliás, alguém sabe dizer se pi^e ou e^e são transcendentes?


>Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante
>analise, uma vez que os numeros transcendentes sao definidos, em geral, por
>meio de limites. No caso do pi, em algum ponto de demonstracao entram
senos,
>cossenos, derivadas e integrais.

        Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 (que é uma
equação
 transcendente).    Para isso basta notar que ela é equivalente a:
                   x ln x = ln 5
                   x ( soma_{n=1}^{\infty} (-1)^n*x^n/n) = ln x  (se não me
engano: preciso
      ver a expansão de Taylor para ln x em torno de x = 0)  mas de qualquer
modo
      a equação tem grau infinito e x não pode ser algébrico.  Uma idéia é
inverter a série
     de potências para x*ln x.   Mas quando tentei fazer isso a coisa ficou
complicadíssima!!

         Precisa inverter a série de potências - Vi no livro de Spiegel -
Advanced Calculus -
        Schaum Outline    um problema semelhante:  A solução era uma série
de potências.

          Alguém da lista sabe como Isaac Newton fazia para inverter séries
de potência?
           Perguntei isso para um ex-professor meu mas ele não conseguiu
responder.
          Sei que existe uma  fórmula para produtos de séries de
          potência (veja "produto de Cauchy" em mathword.wolfram.com ).  Mas
existe alguma
        fórmula para inversão?
         Obrigado antecipadamente a todos que "ilimarem esta escuridão" :)


>O que Gauss provou foi o que chamamos hoje de teorema fundamental da
>algebra, que diz que todo polinomio com coeficientes complexos possui pelo
>menos uma raiz complexa. Usano isso e inducao, voce prova que um polinomio
>complexo de grau n tem exatamente n raizes (algums das quais podem ser
>repetidas).

   Entendi.  Um polinômio complexo é um polinômio em que os coeficientes são
números
 complexos.  É isto não?   Preciso dar uma estudada melhor no assunto.  O
computador
  anda atrofiando meu cérebro...  Felizmente não ando de carro.  Senão meu
coração estaria
 também atrofiado ...

[]s a todos.
Ronaldo L. Alonso

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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