[obm-l] funcoes analiticas 2

[Fabio Niski <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Ola pessoal, segue um problema e a minha tentativa de resolucao. 
Gostaria que por gentileza conferissem se nao tem furo.

(Notacao: pert = "pertence a" , inter = "interseção"

"Sejam D = D(0,1) e f pert A(D) inter C(D[0,1]) [em miudos,D(0,1) é um 
disco aberto centro na origem e raio 1, f é analitica em D e continua no 
disco fechado]. Prove que f pode ser aproximada uniformemente por 
polinomios sobre D[0,1]"

tentativa:
Dado r , real arbitrario, r pert (0,1), considere f[r](z) := f(r*z). É 
certo que g(z) := r*z é inteira (por se tratar de um polinomio). Como f 
é suposta analitica em D e como a composicao de duas funcoes analiticas 
é uma funcao analitica, temos que f[r](z) pert A(D(1/r, 0)) (pois |rz| < 
1 ==> |z| < 1/r).
Da continuidade de f, temos que lim[r -> 1] (f(z) - f[r](z)) = 0, e portanto
f(z) = lim[r->1]f[r](z). Porem da analiticidade de f[r](z) em D(1/r, 0), 
temos

f[r](z) = Soma[m>=0] (1/m!)*(f[r]^(m)(0))*z^m, para todo z pert D(1/r,0)
(note que aqui (f[r]^(m)(0)) indica a m-esima derivada de f[r] no pto 0)
isto é
f[r](z) = Soma[m>=0] (1/m!)*(f^(m)(0))*z^m, para todo z pert D(1/r,0)
Assim
f(z) = lim[r -> 1] f[r](z) = Soma[m>=0] (1/m!)*(f[r]^(m)(0))*z^m, para 
todo z pert D(1,0), assim tomando m suficientemente grande, pode-se 
dizer que f pode ser aproximada por polinomios sobre D[0,1]

Honestamente falando acho que ficou meio confuso (para nao dizer errado) 
do meio pro fim. Alguem tem opiniao/sugestao?

Obrigado


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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