Re: [obm-l] autovalores , autovetores

[Fabio Niski <fniski@xxxxxxxxxxxx>]

Vamos passar a limpo.
Os resultados seguintes sao do livro de R.A Johnson e Dean W. Wichern 
(Applied Multivariate Statistical Analysis)

I - Seja  A uma matriz kxk simetrica. Entao A tem k pares de autovalores 
e autovetores, a saber:
c1, e1, ..., ck, ek
Os autovetores podem ser escolhidos de forma a satisfazer
1 = e1'*e1 = ... = ek'ek  e serem mutalmente perpendiculares. Os 
autovetores sao unicos a menos que dois ou mais autovalores sejam iguais

II - A decomposicao espectral de uma matriz kxk simetrica A é dada por
A = c1 e1'*e1 + ... + ck ek'*ek

Dei um append nas suas duas mensagens e vou comenta-las abaixo.

Claudio Buffara wrote:

> on 29.04.05 17:56, Fabio Niski at fniski@terra.com.br wrote:
> 
> 
>>Obrigado Claudio.
>>Alias, sobre a sua afirmativa "u*u'tem posto 1 e, portanto, n-1
>>autovalores são iguais a 0."  veja, por gentileza, se o meu argumento
>>esta correto:
>>
>>Como A é simetrica podemos escreve-la da seguinte maneira
>>A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
>>onde os ci sao os autovalores e os ei os autovetores correspondentes.
>>Como A tem posto 1 e os autovETORES sao l.i só se pode ter um autovalor
>>diferente de 0.
>>
> 
> Essa expressao para A nao me parece obvia a priori.
> Alem disso, como voce prova que os autovetores (nao autovalores) sao L.I.?
> Eles soh serao L.I. a priori se os autovalores correspondentes forem
> distintos, o que nao ocorre nesse caso (n-1 deles sao iguais a 0).

Quando voce diz que os autovetores serao LI se os autovalores 
correspondentes forem distintos, considere
u' = (4 2 7 6)
Fiz as continhas no Mathematica, e veja
u'*u =
{{16, 8, 28, 24}, {8, 4, 14, 12}, {28, 14, 49, 42}, {24, 12, 42, 36}}

eigenvalues = {105, 0, 0, 0}

eigenvectors = {{4, 2, 7, 6}, {-3, 0, 0, 2}, {-7, 0, 4, 0}, {-1, 2, 0, 0}}

MatrixRank[eigenvectors] = 4 (!)

Veja que autovalores iguais deram origem a autovalores L.I (pois a 
matriz formada pelos 4 autovetores tem posto = 4).

O que eu falei estava errado pois na expressao
A = c1*e1'*e1 + ... + cn*en'*en
eu estava interpretando (talvez por bebedeira) como a compoiscao de A 
coluna por coluna, ou seja ignorando o fato de que em'*em é uma matriz.


>
 > A sua formula nao estah certa.
 > Se e1 eh um autovetor, entao, para qualquer escalar k <> 0, k*e1 
 >tambem eh
 >autovetor associado ao mesmo autovalor, mas (k*e1)*(k*e1') = >k2*(e1*e1').
 >Logo, a sua expressao para A nao pode estar certa, a menos que A = 0 e,
 >portanto, cada ei = 0.
 >
 >Por exemplo, seja A =
 >5  2
 >2  2
 >
 >Polinomio caracteristico: t2 - 7t + 6 ==> autovalores: 1 e 6.
 >Os autovetores associados sao, respectivamente:
 >(1,-2)^t  e  (2,1)^t
 >
 >Pela sua formula, teriamos:
 >A =
 >13  22
 > 4  16
 >mesmo normalizando os autovetores (no caso, multiplicando-os por 
 >1/raiz(5)),
 >ainda nao obteriamos a expressao correta.
 >De onde voce tirou isso?

Os autovetores sao
{2,1} e {-1,2}

Tirando o fato que eu esqueci de omitir (e voce citou) que os 
autovetores deveriam ser normalizados o resultado (II) é confirmado pelo 
Mathematica (ao que parece voce apenas errou ao calcular os autovetores)
Concorda?


Abraços

Niski






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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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