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Re: [obm-l] Principio das Gavetas

Oi, Qwert:
 
Esse pior caso é o que ocorre quando removemos o último termo daquele meu exemplo furado, ou seja, tomamos os 38 inteiros entre 38999981 e 39000018, inclusive.
 
A sequência das somas dos algarismos será:
56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64 = S(38999989)
56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65 = S(38999999)
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 = S(39000009)
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 = S(39000018)
 
Nenhuma soma é divisível por 11.
 
Ou seja, 39 é realmente o melhor resultado possível.
 
O que eu descobri é que esse caso extremo de 38 inteiros ocorre justamente quando o 19o. termo da sequência:
i) termina com k algarismos 9, onde k == 6 (mod 11)
e
ii) tem soma dos algarismos congruente a 10 (mod 11).
 
[]s,
Claudio.
 
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Tue, 29 Mar 2005 15:54:53 -0500
Assunto: Re: [obm-l] Principio das Gavetas
> remando minha solucao anterior no caso dela ter se perdido nas caixas
> postais virtuais da vida
>
> >From: "Qwert Smith"
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] Principio das Gavetas
> >Date: Tue, 29 Mar 2005 11:36:25 -0500
> >
> >
> >
> >>From: Marcio M Rocha
> >>>> > Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugestão no
> >>>problema
> >>> > seguinte: "Prove que em qualquer seqüência de 39 números naturais
> >>> > consecutivos existe ao menos um número cuja soma dos algarismos é
> >>> > divisível por 11."
> >>> >
> >>>Esse parece interessante. Acho que vale a pena fazer umas simulações no
> >>>Excel pra ver se você acha alguma periodicidade ou lei de formação. Se eu
> >>>achar alguma coisa te falo.
> >>> []s,
> >>>Claudio.
> >>>
> >
> >Seja N um numero terminado em 0 onde o algarismo das desenas nao e 9
> >
> >Seja a = (soma dos algarismos de N) mod 11
> >A sequencia de 'mod 11's pelos proximos 9 numeros seria
> >
> >a+1, a+2, a+3, a+4, a+5, a+6, a+7, a+8, a+9
> >
> >Se a=0 o problema ja estaria resolvido, se a>=2, nessa sequencia tb
> >teriamos um multiplo de 11, logo o pior caso e a=1
> >mas continuando a sequencia de 'mod 11's: o numero seguinte terminaria
> >em zero e seria a+1 (mod 11). Os nove numeros da sequencia ja sabemos:
> >a+2, a+3, a+4, a+5, a+6, a+7, a+8, a+9, a+10. Ou seja, em 19 numeros
> >em sequencia, nessas condicoes teremos certamente um multiplo de 11.
> >
> >A questao e agora quantos numeros em sequencia sao necessarios pra
> >chegarmos em N? E facil ver que na pior das hipoteses N seria o 20o de
> >uma sequencia de numeros naturais. Nada impede que exista um multiplo
> >de 11 no meio, mas em 39 numeros teriamos obrigatoriamente no pior caso:
> >19 numeros quaisquer, N=a(mod11), e a sequencia de 19 numeros acima.
> >
> >Acho que e isso nao?
> >
> >
>>