Re:[obm-l] equacao diofantina

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi Cláudio e amigos da lista.

Sem querer ser chato, mas sendo um pouco, há cuidados
a serem tomados ao usar Pell.

A equação de Pell generalizada x^2 - by^2 = c
normalmente é "resolvida" da seguinte maneira:

Antes de mais nada, vamos só pensar em soluções
inteiras positivas.

Primeiro, se c não é igual a 1, procura-se uma solução
minimal (x_0,y_0) da equação dada, no sentido que x_0
+ y_0\sqrt{b} é mínimo.

Depois, resolve-se a equação de Pell x^2 - by^2 = 1,
obtendo as infinitas soluções (x_k,y_k), k>=1.
Geralmente, encontra-se (usando fração contínua, por
exemplo) uma solução minimal (x_1,y_1) e as outras são
obtidas da recorrência (x_1+y_1\sqrt{b})^n = x_n +
y_n\sqrt{b}, x_n, y_n inteiros.

Aí os pares (x,y) obtidos de
 (x_0+y_0\sqrt{b})(x_n+y_n\sqrt{b}) = x + y\sqrt{b}
são soluções da equação original.

O problema é que quando c não é 1, esse procedimento
infelizmente *não* gera todas as raízes. Quando c=1,
aí sim temos todas as raízes.

Um exemplo é a equação x^2 - 10y^2 = 9. Ela admite
*três* soluções primitivas distintas: (7,2), (13,4) e
(57,18). A solução minimal de x^2 - 10y^2 = 1 é
(19,6), maior que ambos (7,2) e (13,4). Assim, (13,4)
não poderia ser gerada por (7,2).

Para achar todas as soluções, temos que achar *todas*
as soluções primitivas (x_0;y_0) da equação original.

Veja mais em
   http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html

Mais tarde eu vou pensar nessa equação diofantina.

[]'s
Shine

--- "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Oi, Luís:
> 
> Mediante uma mudança de variáveis essa equação se
> reduz a uma equação de Pell. A idéia é completar os
> quadrados em cada membro e multiplicar a equação
> resultante por uma constante apropriada a fim de
> obter algo da forma y^2 - ax^2 = b, onde a e b são
> inteiros e a é positivo e livre de quadrados.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Cópia:
> 
> Data:Mon, 28 Mar 2005 20:30:52 +0000
> 
> Assunto:[obm-l] equacao diofantina
> 
> > Sauda,c~oes,
> >
> > O problema abaixo foi proposto numa lista.
> >
> > []'s
> > Luis
> >
> > Does anybody can give a (perhaps partial)
> recursive solution to
> > the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b
> > a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39
> >
> > Best regards
> > Nikolaos Dergiades
> >
> >
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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